2010年南开大学数学分析, 高等代数真题回忆 转载的希望有用手头上没有LaTeX, 就直接说下好了...
第一题是求个极限, 用的Taylor展式,
第二题白痴的第一型曲面积分, 结果我考试的时候硬是没做出来...
第三题用的变量代换算三重积分, 注意下求Jacobian就OK了
第四题级数求和, 写成两个幂级数相减就搞定
第五题讨论一个比较经典的级数的收敛情况\sum_n=2^\infty\frac{1}{\frac{p+\frac{1}{\ln n}}{n}}, 绝对, 条件, 发散
第六题有两个小题, 第1个是用构造函数用闭区间上连续函数的性质就可以了; 第2个问的是是否存在一个在有理点的函数值为无理数, 在无理点的函数值为有理数的连续函数(R上)
第七题, Taylor展开, 一般书上都有, 很经典的
第八题, 积分不等式, 还是Taylor展开...
最后一题是南开以前的陈题稍微改了一下, 说的是积分和极限互换的问题, 还是那个很经典的积分\int_0^+\infty \alpha e^-\alpha x dx
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下午的代数,
第一题, 算个行列式
南开好多年没出过要这种技巧来算的题, 不过最后还是转化成箭形来处理就可以了
第二题, 算个矩阵方阵, XA=B
用列变换就可以
第三题, 求矩阵的幂
用最简单的化成对角形就可以了
第四题, 证明实正规矩阵且其特征值为正, 那么是对称阵
这是显然的...
第五题, 老题目, 证明正定阵的最大元必在其对角线上
第六题, 证明如果一个球面的球心坐标(x_0,y_0,z_0)中至少有一个是无理数, 则些球面上任何四个不在同一个平面上的点中至少有三个点使其坐标都是有理数.
这题我没想出来考什么, 估计是欧氏空间里的东西
第七题, 说的是一个矩阵可逆, 一个幂零, 且AB=BA, 证明A+B可逆.
这个也简单 (后来才发现这题今年中科院也考...)
第八题, 证明实反对称阵的行列式大于0, 且元素为整数时, 行列式必为一整数的平方
这题我是为实反对称阵的标准型来处理, 不知道有没有更好的方法...
第九题, 还是证明幂零线性变换的题, 比较有意思, 也是xy-yx型的, 可我写出来也不是很确定...
[ 本帖最后由 snsnsn 于 2010-1-16 15:54 编辑 ] |
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