最近忙考试，给道高代题目大家讨论下

lukang.cs@gmail.com
这个矩阵A对应一个二次型x‘Ax，讲这个二次型的第i项固定成1时就这个时候x‘Ax的最小值

[ 本帖最后由 hulucs 于 2008-7-4 23:13 编辑 ]

看起来，不简单啊，下去考虑考虑

这个题目，最近想了几次。。。。听说要个引理，不知道什么引理啊

没怎么做的啊~

给出了点提示，大家再考虑考虑

不妨i＝n（否则将A的第i行和第n行对换，再将第i列和第n列对换；对B作同样变换，则不影响正定性和相应行列式的值）
记A=(An  X ;X’   a)  B=(Bn  Y;Y’  b)
则 det(A)=det(An)det(a-X’CX), det(B)=det(Bn)det(b-Y’DY),det(A+B)=det(An+Bn)det(a+b-(X+Y)’E(X+Y)),其中C,D,E分别是An,Bn,An+Bn的逆所以只要证明X’CX ＋Y’DY >=(X+Y)’E(X+Y)，即证明X’(C-E)X +Y’(D-E)Y>=2X’EY,此式即为(EX)’BC(An+Bn )EX+Y’EAnDY>=2X’EY,注意到BC(An+Bn ) 为EAnD的逆，上式成立，结论获证.WORD没学好，不擅打符号，只好这么写。我没看明白楼主的提示，这是另一种方法

[ 本帖最后由 帅哥0706 于 2008-7-5 22:29 编辑 ]

原帖由 帅哥0706 于 2008-7-5 22:24 发表
不妨i＝n（否则将A的第i行和第n行对换，再将第i列和第n列对换；对B作同样变换，则不影响正定性和相应行列式的值）
记A=(An  X ;X’   a)  B=(Bn  Y;Y’  b)
则 det(A)=det(An)det(a-X’CX), det(B)=det(Bn)de ...

首先感谢您的参与
BC(An+Bn ) 为EAnD的逆，上式成立?这是为什么呢，虽然这个式子貌似均值不等式，但我没能一眼看出这个见论是显然的
EAnD又不是正定阵

[ 本帖最后由 hulucs 于 2008-7-6 09:01 编辑 ]

不好意思，输入失误，原答案的“BC(An+Bn )”应该是“BnC(An+Bn)” ,而BnC(An+Bn ) ＝Bn+BnCBn正定。最后的结论是用了结论：X\'TX+Y\'T^(-1)Y>=2X\'Y(T为正定矩阵）得来的，证明很简单，将T分解T=S\'S,其中S可逆（正定矩阵的分解就不用赘述了吧），那么就是X\'TX+Y\'T^(-1)Y=<SX,SX>+<((S\')^(-1))Y,((S\')^(-1))Y>>=2(SX的模)(((S\')^(-1))Y的模)>=2(SX)\'((S\')^(-1))Y=2X\'Y。

[ 本帖最后由 帅哥0706 于 2008-7-6 21:41 编辑 ]