判断这个函数项级数是否一致收敛

txzwql985 · 发表于 10-10-18 18:29:01

设函数列｛a_n｝单调且收敛于0，试问 $\\sum a_{n}cos(nx)$ 在（0，2pi）上的一致收敛性。请简要写一下证明过程

953801820 · 发表于 10-10-21 06:58:47

用狄利克雷判别法，由于a-n单调收敛，余弦的和是有界的，具体做法是对余弦的和函数乘以sin（x/2）利用积化和差公式可得有界。

zrp2 · 发表于 10-10-21 10:38:10

楼上的方法只能证明原数列点态收敛。要证明一致收敛的话，只能用魏尔斯特拉斯判别法，因为|a_n cosnx|<=|a_n|，而{a_n}收敛，所以原函数项级数一致收敛。

xjsh · 发表于 10-10-26 12:06:51

答 :此级数在这个开区间上不一致收敛.

用反证法,假如此级数在这个开区间上一致收敛,写出由柯西准则满足的不等式,在此不等式中,
令x趋向于右端点,得出此级数在右端点处收敛,而题目无此条件,(也可举出例子),矛盾.

xjsh · 发表于 10-10-26 12:10:19

正如,二楼所说.此法只是判别点态收敛.

此题是判别是否一致收敛,得用另外的方法.

xjsh · 发表于 10-10-26 12:12:26

这种作法是错误的.

一般原理:由数列收敛于零,不能导出由数列构成的级数收敛.

tanguo111 · 发表于 10-11-3 23:27:16

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用狄利克雷判别法，由于a-n单调收敛，余弦的和是有界的，具体做法是对余弦的和函数乘以sin（x/2）利用积化和差公式可得有
这种做法的是错误的，没有错，的确是要用COSNX的部分来作估计，经计算这个部分和《1/2sinx/2的，要对任意的X让式子成立，很明显在o,pi这是没有这点的附近，它不能做有界，要用它做判断的话只能在区间，0+E，2PI-E,来避免0处的干扰。

tanguo111 · 发表于 10-11-3 23:28:12

因此它不对

tanguo111 · 发表于 10-11-3 23:39:36

楼上的方法只能证明原数列点态收敛。要证明一致收敛的话，只能用魏尔斯特拉斯判别法，因为|a_n cosnx|<=|a_n|，而{a_n}收敛，所以原函数项级数一致收敛。
这个讲法也是不对的，要的级数AN收敛才有用，这没有没用的W法才能用
这个题要根CAUCHY定义来做，还有要可能根本不会一致收敛，很在程度要决定于AN的性质

pjh · 发表于 10-11-6 15:15:04

用狄利克雷判别法，由于a-n单调收敛，余弦的和是有界的，具体做法是对余弦的和函数乘以sin（x/2）利用积化和差公式可得有界。
这位做的是对的，大家仔细体会吧。余弦的和函对一切X都成立，存在共同的N，根据一致收敛的定义，便可得出

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