[专业课活动]高等代数天天见-7（已公布答案）

来做题了！看后不要犹豫，赶紧做吧！有兴趣的同学可以把自己的思路回复上来。更加欢迎你传个答案图片或者word上来，一起来分析你的解题步骤。
      这个是公式编辑器的下载处：http://bbs.freekaoyan.com/thread-131486-1-1.html
      鉴于大家对于这个题目提出了各种不同的意见，我们给出三种方法分别从秩的角度，若当标准型的角度，线性方程组的角度来解答此题。需要指出，方法三，15楼的已经给出。我们在给出两种方法。由于这些答案均是人工制作，脑误与手误在所难免，不妥之处劳烦大家指出。20楼的给我们提供了第四种解法。

[ 本帖最后由 turn_ice 于 2008-9-8 09:22 编辑 ]

我是第一个吗？那我 说个思路吧，任何一个n阶方阵都可以化成对角矩阵，由题意知设A的 秩为r即主对角线上有r个不为0的行，又A^2的也为秩为r即它主对角线上也有r个不为0的行，这样A和A^2的 形式也就出来了 ，接下来大家继续了 。

原帖由 xianbaoqing 于 2008-5-28 07:53 发表
我是第一个吗？那我 说个思路吧，任何一个n阶方阵都可以化成对角矩阵，由题意知设A的 秩为r即主对角线上有r个不为0的行，又A^2的也为秩为r即它主对角线上也有r个不为0的行，这样A和A^2的 形式也就出来了 ，接下 ...

n阶方阵可对角化？
用这里的第四题可以做

或者，有条件可知Ax=0与A^2x=0同解，
A^3x=0的解必包括A^2x=0的解（1）
A^3y=AA^2y,故若A^3y=A^2Ay=0，则Ay为A^2x=0的解也是Ax=0的解
于是AAy=0，故A^3x=0的解必为A^2X=0的解（2）
综合（1）（2）可知A^3x=0与A^2X=0同解
于是r（A^2)=r（A^3)

用反证法，应该还可以证出来的，可是我都不会证了。为什么不设置成，回复即可见的状态呢！

[ 本帖最后由 gguni 于 2008-5-28 11:34 编辑 ]

思考中 还没有头绪

这个思路是完全正确的。你在三楼提出的利用第四题的解法也很好。也就是利用此题结论，令此题中的A=B=C,结合r(A)=r（A^2），即可得。 有兴趣的可以把详细过程写出来。

首先，按照你的这个解题思路可以做下去，但不是每个方阵都可对角化，而是每个矩阵均有若当标准形。按照若当标准形的思路，你在重新考虑下？？谢谢参与

上楼有人可能没看清我说的条件，我说的是n阶方阵，并不是我上楼说的每个方阵，条件题目以给出的

恩，非常高兴看到你的热情。  事实上，题目给出了关于A和A^2的秩的关系。但这并不能说明A可以对角化。A可以对角化的充要条件有（1）具有n个线性无关特征向量。（2）最小多项式无重根。（3）特征根的几何重数=代数重数等  几类常见的可以对角化的矩阵：实对称阵，正交阵。。。
      看下面这个例子。