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标题: [专业课活动]高等代数天天见－３（已公布答案） [打印本页]

作者: turn_ice 时间: 08-5-22 09:22
标题: [专业课活动]高等代数天天见－３（已公布答案）
[s:2]
欢迎大家参加今天的活动，将你的解答回复．（以ＪＰＧ图片或ＷＯＲＤ格式回复），只回复解题思路也行．至于上传附件的方法，我经常是先回复一句话，再在自己的回帖右下角点＂编辑＂就可以上传附件了，不知道别人有没什么更好的方法．

没有公式编辑器的，到下面这个帖子里可以下载
http://bbs.freekaoyan.com/thread-131486-1-1.html
如果大家有什么好题目欢迎拿出来和大家一起分享哦．

另外对非数学专业的朋友们说几句：本活动主要是针对数学专业以及工科专业中初试要考高等代数的朋友．欢迎不考高等代数的朋友参加活动，但如果做不出来不要恐慌哦．实在不好意思，前两天好象给某些朋友造成心理压力了．

今天的题目如下，答案随后．

[ 本帖最后由 turn_ice 于 2008-9-8 09:26 编辑 ]

作者: hulucs 时间: 08-5-22 09:41
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作者: 307872338 时间: 08-5-22 09:58
AB(AB)*=|AB|E=|A||B|E
AB(B*A*)=A(BB*)A*=A(|B|E)A*=|B|AA*=|B||A|E
（1）若|A||B|不等于0，即A,B皆可逆。
所以(AB)*=B^-1A^-1|A||B|E
B*A*=B^-1A^-1|A||B|E
所以(AB)*=B*A*
（以下刚开始，我没考虑。看起来不能轻视那些基本题目。特变别像这种感觉像定理的。
另外，对定理的应用也得清楚知道其适用性）
（2）若|A||B|等于0。情况就复杂多。
（由向量的特征值有有限多个可以得出以下思路）
考虑矩阵A(x)=A-xE,B(x)=B-xE,其中x为实数，E为单位矩阵。
由于A和B都只具有有限个特征值。所以存在无限多个x，
使得|A(x)|,|B(x)|不等于0。
由（1）可知（A(x)B(x)）*=B(x)*A(x)*,对无穷多个x成立。
记（A(x)B(x)）*=(Fij(x))nxn,B(x)*A(x)*=(Gij(x))nxn，
由上式得Fij(x)=Gij(x),(i,j=1,2,...,n)。
也就是说：有无穷多个x,使上式成立，但Fij(x),Gij(x)是次数有限的多项式，故对任意x
都有Fij(x)=Gij(x).特别地，Fij(0)=Gij(0)。
此时,就能得出(AB)*=(A(0)B(0))*=B(0)*A(0)*=BA。
证毕。
第二步真的很难，不知还有没简单证法。

[ 本帖最后由 307872338 于 2008-5-22 12:06 编辑 ]

作者: 307872338 时间: 08-5-22 10:06
版主能不能出一些难一点点的，最好是一些名校的真题。

作者: Jennifer1955 时间: 08-5-22 10:28
楼上的怎么这么吝啬呢觉得简单答案还不公布[s:10]

作者: hulucs 时间: 08-5-22 11:53
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作者: hulucs 时间: 08-5-22 11:55
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作者: turn_ice 时间: 08-5-22 12:01

原帖由 307872338 于 2008-5-22 10:06 发表
版主能不能出一些难一点点的，最好是一些名校的真题。

昨天和今天的都是真题，今天的是吉林大学的，昨天的记不清是哪个学校的了．前天的那题是一个学校高等代数选讲的例题．这几天的题目是比较简单，我会努力的，当我的能力有限，确实人手也不够．最近正在找节目主持人．希望数学专业能有人来共同做这个活动．

[ 本帖最后由 turn_ice 于 2008-5-22 12:54 编辑 ]

作者: hulucs 时间: 08-5-22 12:03
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作者: 307872338 时间: 08-5-22 12:05

原帖由 307872338 于 2008-5-22 09:58 发表
AB(AB)*=|AB|E=|A||B|E
AB(B*A*)=A(BB*)A*=A(|B|E)A*=|B|AA*=|B||A|E
（1）若|A||B|不等于0，即A,B皆可逆。
所以(AB)*=B^-1A^-1|A||B|E
B*A*=B^-1A^-1|A||B|E
所以(AB)*=B*A*
（以下刚开始，我没考虑。看 ...

这是我重新改正的证法，现在觉得其实这道题目真的很好，呵呵。也不简单

作者: 307872338 时间: 08-5-22 12:09

原帖由 Jennifer1955 于 2008-5-22 10:28 发表
楼上的怎么这么吝啬呢觉得简单答案还不公布[s:10]

不好意思，我本来以为比较容易。为了不影响别人思考，设置为楼主可见。
现在我把我写的修正了，现在重新发一次。
AB(AB)*=|AB|E=|A||B|E
AB(B*A*)=A(BB*)A*=A(|B|E)A*=|B|AA*=|B||A|E
（1）若|A||B|不等于0，即A,B皆可逆。
所以(AB)*=B^-1A^-1|A||B|E
B*A*=B^-1A^-1|A||B|E
所以(AB)*=B*A*
（以下刚开始，我没考虑。看起来不能轻视那些基本题目。特变别像这种感觉像定理的。
另外，对定理的应用也得清楚知道其适用性）
（2）若|A||B|等于0。情况就复杂多。
（由向量的特征值有有限多个可以得出以下思路）
考虑矩阵A(x)=A-xE,B(x)=B-xE,其中x为实数，E为单位矩阵。
由于A和B都只具有有限个特征值。所以存在无限多个x，
使得|A(x)|,|B(x)|不等于0。
由（1）可知（A(x)B(x)）*=B(x)*A(x)*,对无穷多个x成立。
记（A(x)B(x)）*=(Fij(x))nxn,B(x)*A(x)*=(Gij(x))nxn，
由上式得Fij(x)=Gij(x),(i,j=1,2,...,n)。
也就是说：有无穷多个x,使上式成立，但Fij(x),Gij(x)是次数有限的多项式，故对任意x
都有Fij(x)=Gij(x).特别地，Fij(0)=Gij(0)。
此时,就能得出(AB)*=(A(0)B(0))*=B(0)*A(0)*=BA。
证毕。
第二步真的很难，不知还有没简单证法。
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作者: hulucs 时间: 08-5-22 12:10
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作者: fayeyon 时间: 08-5-22 12:13
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作者: zhouliang815 时间: 08-5-22 12:13

原帖由 307872338 于 2008-5-22 12:05 发表

这是我重新改正的证法，现在觉得其实这道题目真的很好，呵呵。也不简单

完全支持啊！！！
很简单的哦

作者: 307872338 时间: 08-5-22 12:23

原帖由 hulucs 于 2008-5-22 12:10 发表
楼上的方法为扰动法，不过这个方法必须是A,B为数值矩阵

请问扰动法是什么？我在书上还没看过．

作者: fayeyon 时间: 08-5-22 12:24
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作者: hulucs 时间: 08-5-22 12:25
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作者: 307872338 时间: 08-5-22 12:30
标题: 回复 #17 hulucs 的帖子
哦，原来是这个。我不知道这个。我只是想矩阵的特征值是有限个的，而多项式
如果有个数超过它次数的根，那么它就恒等于0.

作者: hulucs 时间: 08-5-22 12:32
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作者: 307872338 时间: 08-5-22 12:35
标题: 回复 #19 hulucs 的帖子
呵呵，谢谢了。请问有什么书有讲这个的？

作者: hulucs 时间: 08-5-22 12:36
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作者: Jennifer1955 时间: 08-5-22 15:22
怎么都说这几天的简单我咋没看出来呢我才复习了第一章觉得线性挺难的

作者: hulucs 时间: 08-5-22 15:41
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作者: turn_ice 时间: 08-5-22 15:57

原帖由 Jennifer1955 于 2008-5-22 15:22 发表
怎么都说这几天的简单我咋没看出来呢我才复习了第一章觉得线性挺难的

因为高等代数和线性代数的要求有区别吧．

作者: xianbaoqing 时间: 08-5-22 16:37
这道题主要用到(伴随矩阵),矩阵的行列式以及单位矩阵三者之间的关系,有两个重要的公式大家应该记得吧

作者: mingzi124 时间: 08-5-22 18:41
因为A*=A-1|A|,
(AB)*=(AB)-1|AB|=B-1A-1|A||B|=B*A*
证毕

作者: hulucs 时间: 08-5-22 22:12
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作者: lykwinner 时间: 08-5-23 09:08
标题: 回复 #1 turn_ice 的帖子
证明：分两种情形。（1）|AB|不等于0时，按伴随矩阵定义直接比较两边即可。
（2）|AB|=0 考虑矩阵A-tE , B-tE ,总存在无数t使得|A-tE |，|B-tE |均不为0.则矩阵A-tE , B-tE 转化为情形1。再由[（A-tE ）（B-tE ）]*=（B-tE）*（A-tE ） *，两边对应项均为t的有限次多项式，但有无限多t使上式成立，从而为恒等式，令t=0可得原结论。

作者: zp861123 时间: 08-11-5 14:53
太好了，谢楼主了

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