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命题专家经典文存系列

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51#
as4631758 发表于 09-4-2 00:11:26 | 只看该作者
支持!!!! 学习中......
52#
chen31cn 发表于 09-4-2 08:53:49 | 只看该作者
希望是真的专家
53#
zhangxiaolunzxl 发表于 09-4-2 12:19:56 | 只看该作者

谢谢喽

楼主辛苦了哈
54#
zhangxiaolunzxl 发表于 09-4-2 12:22:53 | 只看该作者

谢谢楼主

辛苦了哈
。。。。
55#
巢北北 发表于 09-4-2 21:15:21 | 只看该作者
好东西,谢谢楼主分享哈~
56#
wangchanghui 发表于 09-4-2 22:07:22 | 只看该作者
真是好东西啊。
57#
as4631758 发表于 09-4-3 23:22:55 | 只看该作者
十分不错,谢谢了
58#
as4631758 发表于 09-4-3 23:25:58 | 只看该作者
真是好东西啊。
59#
as4631758 发表于 09-4-3 23:26:28 | 只看该作者
1、行列式
1.         行列式共有 个元素,展开后有 项,可分解为 行列式;
2.        代数余子式的性质:
①、 和 的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为 ;
3.        代数余子式和余子式的关系:
4.        设 行列式 :
将 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为 ,则 ;
将 顺时针或逆时针旋转 ,所得行列式为 ,则 ;
将 主对角线翻转后(转置),所得行列式为 ,则 ;
将 主副角线翻转后,所得行列式为 ,则 ;
5.        行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:副对角元素的乘积 ;
③、上、下三角行列式( ):主对角元素的乘积;
④、 和 :副对角元素的乘积 ;
⑤、拉普拉斯展开式: 、
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
6.        对于 阶行列式 ,恒有: ,其中 为 阶主子式;
7.        证明 的方法:
①、 ;
②、反证法;
③、构造齐次方程组 ,证明其有非零解;
④、利用秩,证明 ;
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
1.         是 阶可逆矩阵:
  (是非奇异矩阵);
  (是满秩矩阵)
  的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组 有非零解;
  , 总有唯一解;
  与 等价;
  可表示成若干个初等矩阵的乘积;
  的特征值全不为0;
  是正定矩阵;
  的行(列)向量组是 的一组基;
  是 中某两组基的过渡矩阵;
2.        对于 阶矩阵 :  无条件恒成立;
3.         

4.        矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
5.        关于分块矩阵的重要结论,其中均 、 可逆:
若 ,则:
Ⅰ、 ;
Ⅱ、 ;
②、 ;(主对角分块)
③、 ;(副对角分块)
④、 ;(拉普拉斯)
⑤、 ;(拉普拉斯)
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1.        一个 矩阵 ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的: ;
等价类:所有与 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵 、 ,若 ;
2.        行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
3.        初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
①、        若 ,则 可逆,且 ;
②、对矩阵 做初等行变化,当 变为 时, 就变成 ,即: ;
③、求解线形方程组:对于 个未知数 个方程 ,如果 ,则 可逆,且 ;
4.        初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
②、 ,左乘矩阵 , 乘 的各行元素;右乘, 乘 的各列元素;
③、对调两行或两列,符号 ,且 ,例如: ;
④、倍乘某行或某列,符号 ,且 ,例如: ;
⑤、倍加某行或某列,符号 ,且 ,如: ;
5.        矩阵秩的基本性质:
①、 ;
②、 ;
③、若 ,则 ;
④、若 、 可逆,则 ;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
⑤、 ;(※)
⑥、 ;(※)
⑦、 ;(※)
⑧、如果 是 矩阵, 是 矩阵,且 ,则:(※)
        Ⅰ、 的列向量全部是齐次方程组 解(转置运算后的结论);
        Ⅱ、
⑨、若 、 均为 阶方阵,则 ;
6.        三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量) 行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
②、型如 的矩阵:利用二项展开式;
        二项展开式: ;
        注:Ⅰ、 展开后有 项;
Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质: ;
③、利用特征值和相似对角化:
7.        伴随矩阵:
①、伴随矩阵的秩: ;
②、伴随矩阵的特征值: ;
③、 、
8.        关于 矩阵秩的描述:
①、 , 中有 阶子式不为0, 阶子式全部为0;(两句话)
②、 , 中有 阶子式全部为0;
③、 , 中有 阶子式不为0;
9.        线性方程组: ,其中 为 矩阵,则:
①、 与方程的个数相同,即方程组 有 个方程;
②、 与方程组得未知数个数相同,方程组 为 元方程;
10.        线性方程组 的求解:
①、对增广矩阵 进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解;
③、特解:自由变量赋初值后求得;
11.        由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程:
①、 ;
②、 (向量方程, 为 矩阵, 个方程, 个未知数)
③、 (全部按列分块,其中 );
④、 (线性表出)
⑤、有解的充要条件: ( 为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
1.         个 维列向量所组成的向量组 : 构成 矩阵 ;
个 维行向量所组成的向量组 : 构成 矩阵 ;
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
2.        ①、向量组的线性相关、无关         有、无非零解;(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出                         是否有解;(线性方程组)
③、向量组的相互线性表示         是否有解;(矩阵方程)
3.        矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组 和 同解;( 例14)
4.         ;( 例15)
5.         维向量线性相关的几何意义:
①、 线性相关                  ;
②、 线性相关          坐标成比例或共线(平行);
③、 线性相关          共面;
6.        线性相关与无关的两套定理:
若 线性相关,则 必线性相关;
若 线性无关,则 必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)
若 维向量组 的每个向量上添上 个分量,构成 维向量组 :
若 线性无关,则 也线性无关;反之若 线性相关,则 也线性相关;(向量组的维数加加减减)
简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;
7.        向量组 (个数为 )能由向量组 (个数为 )线性表示,且 线性无关,则 (二版 定理7);
向量组 能由向量组 线性表示,则 ;( 定理3)
向量组 能由向量组 线性表示
有解;
                 ( 定理2)
        向量组 能由向量组 等价 ( 定理2推论)
8.        方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ,使 ;
①、矩阵行等价: (左乘, 可逆) 与 同解
②、矩阵列等价: (右乘, 可逆);
③、矩阵等价: ( 、 可逆);
9.        对于矩阵 与 :
①、若 与 行等价,则 与 的行秩相等;
②、若 与 行等价,则 与 同解,且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
④、矩阵 的行秩等于列秩;
10.        若 ,则:
①、 的列向量组能由 的列向量组线性表示, 为系数矩阵;
②、 的行向量组能由 的行向量组线性表示, 为系数矩阵;(转置)
11.        齐次方程组 的解一定是 的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
①、         只有零解 只有零解;
②、         有非零解 一定存在非零解;
12.        设向量组 可由向量组 线性表示为:( 题19结论)
( )
        其中 为 ,且 线性无关,则 组线性无关 ;( 与 的列向量组具有相同线性相关性)
(必要性: ;充分性:反证法)
        注:当 时, 为方阵,可当作定理使用;
13.        ①、对矩阵 ,存在 ,          、 的列向量线性无关;( )
②、对矩阵 ,存在 ,          、 的行向量线性无关;
14.         线性相关
存在一组不全为0的数 ,使得 成立;(定义)
  有非零解,即 有非零解;
  ,系数矩阵的秩小于未知数的个数;
15.        设 的矩阵 的秩为 ,则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为: ;
16.        若 为 的一个解, 为 的一个基础解系,则 线性无关;( 题33结论)
5、相似矩阵和二次型
1.        正交矩阵 或 (定义),性质:
①、 的列向量都是单位向量,且两两正交,即 ;
②、若 为正交矩阵,则 也为正交阵,且 ;
③、若 、 正交阵,则 也是正交阵;
        注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;
2.        施密特正交化:


         
         ;
3.        对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;
4.        ①、 与 等价          经过初等变换得到 ;
, 、 可逆;
, 、 同型;
②、 与 合同         ,其中可逆;
                                 与 有相同的正、负惯性指数;
③、 与 相似         ;
5.        相似一定合同、合同未必相似;
若 为正交矩阵,则   ,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);
6.         为对称阵,则 为二次型矩阵;
7.         元二次型 为正定:
的正惯性指数为 ;
与 合同,即存在可逆矩阵 ,使 ;
的所有特征值均为正数;
         的各阶顺序主子式均大于0;
         ;(必要条件)
60#
lemon820 发表于 09-4-4 22:51:16 | 只看该作者
谢谢楼主~~~
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