高数难题求解答~~！！！！~`

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式子两边同时对X求导，然后将X=1时，F（1）的导数值代入，求微分方程可得解。

具体过程如下

原式子: f(xy) = y*f(x) + x*f(y)
           f\'(xy)*x = f(x) + x*f\'(y)                //两边同时对 y 求导
将 y = 1 代入上式:
          f\'(x)*x = f(x) + 4*x     
当 x != 0时 :                                        //这里要开始讨论 x = 0 ?的问题了.   
          f\'(x) - f(x)/x = 4                          //非齐次线性方程,可以采用常数易变法来求解.
........
          求解得: f(x)  = x*(ln(x^4) + c)
           下面来代定参数: f(1) = c*x , 所以 c = 0;
            因此, f(x) = 4*x*ln|x|               ( x != 0)
           当 x == 0 时, f(0) = 0
      
综合上面有:
                          | 4*x*ln(x)                    x>0
             f(x) =     |  0                              x == 0
                          |  4*x*ln(-x)                  x<0


下面是一些补充:
求借出其通解后,还有一个很重要的步骤,就是定参数.
这个可以采用直接将方程结果代入提设中的式子中进行求解,也可以.使用  f(1) = 0 的方式来代定.

至于  f(1) = 0; f(0) = 0;
其实,    y = 1, f(x) = f(x) + x*f(1) 所以, x*f(1) = 0, 由于 x 不常为零,所以这就要求 f(1) = 0 恒成立.
同样也有:当 x = 0,  y= 0 时: f(0)  = 0;

个人感觉题目没有说明f(x)可导，楼上2位直接求导应该不妥

恩，
这个我还忽略了，不过，可以在 x = 1附近进行求导吧~
然后进行求解，对求得的结果可以进行解的延展，将其延展到更为广泛的定义上，这时发现，这个解也符合题目的要求。根据方程解唯一性原理，可以知道方程的解。

应该用定义求出导数再计算，解答如下

这是怎么理解的啊

题目已知的

厉害哦...........