求助一个线代问题

d9912345 · 发表于 07-11-22 22:57:21

我在看专业课时，觉得好像存在这样的一个定理：
（I-AB)的行列式＝（I-BA)的行列式
其中A为n*1矩阵，B为1*n矩阵，I为单位矩阵
大家看一下这是不是正确的啊，如果是的话，怎么证明？
我只知道如果A，B为n阶矩阵且A为可逆矩阵上式成立，上面说的这种情况就不知道怎么证明了。

[ 本帖最后由 d9912345 于 2007-11-22 22:59 编辑 ]

wmlln1219心动 · 发表于 07-11-22 23:25:57

因为AB和BA有相同的特征值，所以。。。。。
明白了不？

最后的愚公 · 发表于 07-11-23 12:16:54

不对吧，楼主说得“其中A为n*1矩阵，B为1*n矩阵”AB,BA都不同型怎么会有相同的特征直呢

最后的愚公 · 发表于 07-11-23 12:18:04

A,B要同型矩阵才行

a268749 · 发表于 07-11-23 13:20:57

AB 和BA要都存在的话就必须同型嘛

a268749 · 发表于 07-11-23 13:42:19

说错了，不好意思，在这里胡言乱语了

wmlln1219心动 · 发表于 07-11-23 14:01:10

谢谢提醒，的确只有同型才是特征值相同哦

wmlln1219心动 · 发表于 07-11-23 17:52:54

对于A为n*1矩阵，B为1*n矩阵，I为单位矩阵，也是成立的。理由如下：

1:BA为一个数，|E-BA|=1-(a1b1+b2b2+。。。。+anbn)
2:R(AB)=1，所以AB的特征值为一个a1b1+b2b2+。。。+anbn，和n-1个0。那么E-AB的特征值是1-(a1b1+b2b2+。。。。+anbn)和n-1个1。所以|E-AB|=1-(a1b1+b2b2+。。。。+anbn)
所以|E-AB|=|E-BA|.

bestlove · 发表于 07-11-23 18:10:12

心动大哥，为什么我就想不到这样去做呢~。。。

还有个疑问就是为什么R(AB)=1啊

zhzhh123 · 发表于 07-11-23 23:35:53

原帖由 bestlove 于 2007-11-23 18:10 发表
心动大哥，为什么我就想不到这样去做呢~。。。
还有个疑问就是为什么R(AB)=1啊

一个基本定理：R(AB)<=min{R(A).R(B)}

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