复习指南书上有个问题不懂，请高手指点一下

老陈的复习指南上，190页例7.10的第四个小问题里，有着这样一个疑问
根据提议，题目应该是通过利用莱布尼兹法则来证明公式的收敛的，不懂的是
当知道了数列an的极限为0，为什么数列的相加也能得到极限为0呢？？
下面是怎么证出来的？？

自己顶一下，高人给我指点迷津吧
我快想崩溃了

这里有个普遍的公式:
如果 limate an = a, 则:  limate (a1 + ... + an)/n  = a.
下面证明:

由于, 对 V e >0( 这里e 是任意整数, 不是无理数,很抱歉这里借用下),  lim an = a, 故存在 N1, 当 n > N1时有 |an - a| < e/2 .
由于 N1 选定了, 所以 M = | a1 - a | + .... + | aN1 - a| 为定数.
所以, lim (M/n) = 0, 于是存在 N2, 当 n > N2 时, M/n < e/2 .
取 N = max{N1, N2}, 当 n > N 时,有
| (a1 + .. + an)/n  - a | = | (a1 - a) + ... + (an - a)| / n                        ....( 通分)
<= (| a1 - a| + ... + | aN1 - a |)/n + (| a(N1+1) - a | + ... + | an - a|)/n ....(绝对值不等式)
<M/n +  ((n - N1)*e)/(2*n)            ....(M 值代换, 以及运用 n > N1, |an - a| > e/2 )
<M/n + e/2                                  ....(不等式放缩)
<e/2 + e/2 = e                            ....(运用 n > N 时 M/n < e/2)
综合上面的就是:
V e > 0, E N = max{N1, N2}, 当 n > N 时有:
|( a1 + ... + an)/n  - a | < e

有极限的定义,我们知道: limate (a1 + ... + an)/n  = a.

因此>......

谢谢楼上的解答，特别其中的“由于 N1 选定了, 所以 M = | a1 - a | + .... + | aN1 - a| 为定数.
所以, lim (M/n) = 0”，让我有了醍醐灌顶的感觉，心胸一片开朗啊

楼上的，太谢谢你了