2018年高等数学考点归纳与典型题（含考研真题）详解

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内容简介
目录
第1章　函数、极限与连续性
　1.1　考点归纳
　1.2　典型题（含考研真题）详解
第2章　一元函数微分学
　2.1　考点归纳
　2.2　典型题（含考研真题）详解
第3章　一元函数积分学
　3.1　考点归纳
　3.2　典型题（含考研真题）详解
第4章　向量代数与空间解析几何
　4.1　考点归纳
　4.2　典型题（含考研真题）详解
第5章　多元函数微分学
　5.1　考点归纳
　5.2　典型题（含考研真题）详解
第6章　多元函数积分学
　6.1　考点归纳
　6.2　典型题（含考研真题）详解
第7章　无穷级数
　7.1　考点归纳
　7.2　典型题（含考研真题）详解
第8章　常微分方程
　8.1　考点归纳
　8.2　典型题（含考研真题）详解

内容预览
第1章　函数、极限与连续性
1.1　考点归纳
一、函数
（一）函数的概念

，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域．
（二）函数的几种特性
1．有界性
2．单调性
设函数f(x)的定义域为D，区间I

D．
（1）单调递增　当

时，

．
（2）单调递减　当

时，

．
3．奇偶性
（1）偶函数：f（－x）＝f(x)，其图像关于y轴对称；
（2）奇函数：f（－x）＝－f(x)，其图像关于原点对称．
4．周期性
（1）定义：

（T为正数）．
（2）最小正周期：函数所有周期中最小的周期称为最小正周期．
（三）函数的分类
1．复合函数与分段函数
（1）复合函数
函数

，

称为由函数u＝g(x)与函数y＝f(u)构成的复合函数．
注：函数g的值域必须包含于函数f的定义域．
（2）分段函数
2．反函数与隐函数
（1）反函数
①定义
设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射

，称此映射

为函数f的反函数．
②性质
a．当f在D上是单调递增函数，

在f(D)上也是单调递增函数；
b．当f在D上是单调递减函数，

在f(D)上也是单调递减函数；
c．f的图像和

的图像关于直线y＝x对称．
（2）隐函数
如果变量ｘ，ｙ满足一个方程F(x,y)＝０，在一定条件下，当ｘ取区间I任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的ｙ存在，则称方程F(x,y)＝０在区间I确定了一个隐函数．
（四）函数的运算


（五）初等函数
1．初等函数的定义
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称作初等函数．
2．基本初等函数
（1）幂函数
（2）指数函数
（3）对数函数
（4）三角函数
（5）反三角函数
二、极限
（一）数列的极限
1．数列极限的概念

：

，当

时，有

．
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
（2）有界性
（3）保号性
注：如果数列

收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a．
（二）函数的极限
1．函数极限的定义
（1）函数的极限
①自变量趋于有限值时函数的极限

左极限：

右极限：



②自变量趋于无穷大时函数的极限

2．函数极限的性质
（1）唯一性
（2）局部有界性
（3）局部保号性
（三）无穷小
1．无穷小
（1）定义
如果函数f(x)当

（或

）时的极限为零，则称函数f(x)为当

（或

）时的无穷小．
（2）性质
①有限个无穷小的和也是无穷小；
②有限个无穷小的积也是无穷小；
②有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
2．等价无穷小
（1）定义
设α、β是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，如果

，则β与α是等价无穷小，记作

．
（2）常用的等价无穷小量

注：注意使用条件都是

．
（四）极限运算法则
1．极限的四则运算法则
（1）函数极限的四则运算法则

（2）数列极限的四则运算法则


（五）极限存在准则及两个重要极限
1．极限存在准则
（1）夹逼准则
若存在N，当n＞N时，

，且

，则

．
（2）单调有界准则
单调有界数列必有极限．
2．两个重要极限

三、连续
（一）函数的连续性
1．连续的定义
如果

，则y＝f(x)在点x0连续．
2．左连续
如果

存在且等于f(x0)，即

，则称函数f(x)在点x0左连续．
3．右连续
如果

存在且等于f(x0)，即

，则称函数f(x)在点x0右连续．
（二）函数的间断点
1．第一类间断点
①可去间断点　在间断点处函数左右极限相等．
②跳跃间断点　在间断点处函数左右极限不相等．
2．第二类间断点
①无穷间断点　在间断点处函数极限为无穷大（或无穷小）．
②振荡间断点　在趋近间断点的过程中，函数值在某个区间内变动无限多次．
（三）闭区间上连续函数的性质
1．有界性与最大值最小值定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值．
2．零点定理
若f(x)在[a，b]连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)＜0），则必ξ∈（a，b），使f(ξ)＝0．
3．介值定理
若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对f(a)与f(b)之间任一数C，至少存在一个ξ∈（a，b），使得f(ξ)＝C．

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