武警部队院校招生统考士兵本科及士官高等职业技术教育《数学》历年真题及模拟试题详

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第一部分　历年真题及详解
　2015年武警部队院校招生统考士兵本科及士官高等职业技术教育《数学》真题及详解
　2014年武警部队院校招生统考士兵本科及士官高等职业技术教育《数学》真题及详解
　2013年武警部队院校招生统考士兵本科及士官高等职业技术教育《数学》真题及详解
　2012年武警部队院校招生统考士兵本科及士官高等职业技术教育《数学》真题及详解
第二部分　模拟试题及详解
　武警部队院校招生统考士兵本科及士官高等职业技术教育《数学》模拟试题及详解（一）
　武警部队院校招生统考士兵本科及士官高等职业技术教育《数学》模拟试题及详解（二）
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内容预览
第一部分　历年真题及详解
2015年武警部队院校招生统考士兵本科及士官高等职业技术教育《数学》真题及详解
参考公式：

一、选择题（本大题包括10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个选项符合题意）
1．已知全集为R，集合

，则A∩B等于（　　）．
A．{0，2}
B．{－1，0，2}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|－1≤x≤2}
【答案】A查看答案
【解析】A∩B为A与B的交集，是由属于A且属于B的元素组成的集合，而集合B中属于集合A的元素为0和2，因此A∩B＝{0，2}．
2．在等比数列中，已知

，则

＝（　　）．
A．3
B．9
C．27
D．81
【答案】B查看答案
【解析】设等比数列的公比为q，则

可以得到

．因此


3．设

，则a、b、c的大小关系是（　　）．
A．b＞c＞a
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
【答案】D查看答案
【解析】a与c的指数相等，底数越大，数值也越大，因此a＞c；b与c为同底数幂，且底数小于1，指数越大，数值越小，因此c＞b．
4．不等式

的解集是（　　）．

【答案】A查看答案
【解析】两种情况：
①

；
②

；
因此不等式

的解集为

．
5．复数Z满足（1＋i）Z＝2i，则复数Z在复平面内对应的点在（　　）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A查看答案
【解析】将

两边同时乘以

，得到

因此Z在复平面内对应的点在第一象限．
6．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（　　）．
A．3×3!
B．3×(3!)3
C．(3!)4
D．9!
【答案】C查看答案
【解析】先考虑一个三口之家的坐法种数为3！，把每个家庭看成一个整体，他们之间的排列方法有3！种，总坐法种数为

．
7．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（　　）．
A．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
B．若α⊥β，l

α，则l⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若α∥β，l

α，n

β，则l∥n
【答案】A查看答案
【解析】A项，因为l∥β，则β内必存在一条直线k∥l，又因为l⊥α，则k⊥α，平面β经过平面α的一条垂线，即α⊥β．
8．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D-ABC的体积为（　）．

【答案】D查看答案
【解析】如图1所示，取AC的中点E，连接DE，BE．

图1
∵三角形ADC为等腰直角三角形且E为AC中点，
∴DE⊥AC且DE＝

，
同理得BE⊥AC且BE＝

．
在三角形BDE中，由勾股定理可得DE⊥BE．
∵DE⊥BE，DE⊥AC且DE不在平面ABC内，∴DE⊥平面ABC．
∴D-ABC的体积为

．
9．过坐标原点且与点

的距离都等于1的两条直线的夹角为（　　）．
A．90°
B．45°
C．30°
D．60°
【答案】D查看答案
【解析】以点

为原点作一半径为1的圆，则两条直线为经过原点作的圆的切线，设两切线夹角为

，则

．
10．已知点A（－2，3）在抛物线C：

的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（　　）．
A．

B．－1
C．

D．

【答案】C查看答案
【解析】抛物线

的准线方程为

，则

，焦点

，直线AF的斜率为

．
二、填空题（本大题包括5小题，每小题5分，共25分）
11．若函数

的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
【答案】

【解析】①

时，

，定义域为R，满足题意；
②

时，为使函数

的定义域为R，则方程

无解，即

解得

；
因此

．
12．已知向量a、b满足

，

，

，则

________．
【答案】

【解析】

．
13．若

________．
【答案】

【解析】由

可得

因为

，则

，可得


14．在

的展开式中，含x3的项的系数是________．
【答案】－30查看答案
【解析】含

的系数为

．
15．椭圆

长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是________．
【答案】

【解析】椭圆公式可化为

，则设顶点A(－2,0)，得到两条直角边所在直线的斜率为1和－1．设斜率为1的直线与椭圆的另一交点为C点，直线AC的方程为

，可列出方程组

求得C点的坐标为

或

（舍），则该三角形的面积为


三、解答题（本大题包括7小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）已知函数

的反函数为

．
（1）用定义证明

在定义域上的单调性；（6分）
（2）若

，求x的取值集合D．（4分）
解：（1）函数f（x）的值域为（－1，＋∞），则

的定义域为（－1，＋∞）．
由

可得

则反函数为

任取

且x1＜x2，则
由

得0＜x1＋1＜x2＋1，则



可得

即

，因此

在（－1，＋∞）上为单调增函数．
（2）

，即

，可列方程组

解之得0≤x≤1，因此D＝[0，1]．
17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

．
（1）求cosA的值；（5分）
（2）求

的值．（5分）
解：（1）在△ABC中，由正弦定理

和已知条件

可得

代入已知条件

，可得a＝2c．
由余弦定理

，可得

（2）在△ABC中，由（1）知

，可得

，则



代入到

，可得


18．（10分）已知

是递增的等差数列，

是方程

的根．
（1）求

的通项公式；（4分）
（2）求数列

的前n项和．（6分）
解：（1）方程

的两根为x1＝2，x2＝3．
因为{an}为递增的等差数列，所以a2＝2，a4＝3．
设数列{an}的公差为d，则
a4－a2＝2d
即3－2＝2d，解得

．
{an}的首项为

{an}的通项公式为

（2）设

的前n项和为Sn，由（1）可知

，则



上式相减得



解得


19．（10分）已知向量

．
（1）若

，求证：a⊥b；（4分）
（2）设

，若

，求α和β的值．（6分）
（1）证明：由题意得

，则

将

代入上式可得

解得

，因此

．
（2）解：由题意可得

展开可得

由上式得

由0＜β＜π，可得0＜π－β＜π，又因为0＜α＜π，则α＝π－β，代入到sinα＋sinβ＝1可得

因为

，所以


20．（10分）骰子（六个面上分别标以数1，2，3，4，5，6）每抛掷一次，各个面向上的概率均等．
（1）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（4分）
（2）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率．（6分）
解：（1）设A表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”．
向上的数之和为6的情况有5种，分别为（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）．
连续抛掷两次总的结果共有6×6＝36种．因此

（2）设B表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”．
每次抛掷向上的数为奇数和偶数的概率相等，都为

，则在5次独立重复试睑中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次，事件B的概率为

因此抛掷5次，向上的数为奇效恰好出现3次的概率为

．
21．（12分）如图2，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PDC⊥底面ABCD，PD＝DC，∠PDC＝90°，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面EDB；（5分）
（2）若EF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面EFD．（7分）

图2
证明：（1）在正方形ABCD中，连接AC交BD于O点，连接EO，如图3所示．

图3
依题意得，四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点．
∵E为PC的中点，∴EO∥PA；
又∵PA

平面EDB且EO

平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝CD，而在平面ABCD中，BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC；
∵DE

平面PDC，∴BC⊥DE；
∵PD＝DC且E是PC的中点，
∴PC⊥DE；
又∵在平面PBC中，BC∩PC＝C，
∴DE⊥平面PBC，∴PB⊥DE；
又∵EF⊥PB，且EF在平面EFD中，DE∩EF＝E，
∴PB⊥平面EFD．
22．（13分）双曲线C的中心在坐标原点，右焦点为

，渐近线为

．
（1）求双曲线C的标准方程；（5分）
（2）设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A、B两点，则当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？（8分）
解：（1）设双曲线方程为

，两焦点之间的距离为

，由题意可知


解得

．
因此双曲线的标准方程是

．
（2）由双曲线C和直线l可列方程组

可得

由Δ＞0且3－k2≠0，可得

．
设A（x1，y1），B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，则
OA⊥OB
可得x1x2＋y1y2＝0．
由根与系数的关系可得



可得



解得

．

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