龙驭球《结构力学Ⅰ》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解（中册）

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内容简介
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第5章　虚功原理与结构位移计算
　5.1　复习笔记
　5.2　课后习题详解
　5.3　名校考研真题详解
第6章　力　法
　6.1　复习笔记
　6.2　课后习题详解
　6.3　名校考研真题详解
第7章　位移法
　7.1　复习笔记
　7.2　课后习题详解
　7.3　名校考研真题详解
说明：由于电子书图表公式较多、篇幅较长，为方便电子书上线和读者阅读，分为上、中、下三册，其中上册包括第1～4章，中册包括第5～7章，下册包括第8～10章。
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内容预览
第5章　虚功原理与结构位移计算
5.1　复习笔记
一、应用虚力原理求刚体体系的位移
1．推导位移计算一般公式的基本思路
推导过程的基本思路是“化整为零和积零为整”：把结构的整体变形分解为局部变形，应先用刚体体系的虚力原理导出局部变形时的位移公式，然后应用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。
2．结构位移计算概述
（1）计算结构位移的目的
①验算结构的刚度；
②为超静定结构的内力分析打下基础。
（2）产生位移的原因
①荷载作用；
②温度变化和材料胀缩；
③支座沉降制造误差。
3．应用虚力原理求刚体体系的位移——单位荷载法
例如，图5-1-1（a）中的静定梁，支座A向上移动一个已知距离

，现在拟求B点的竖向位移

。

图5-1-1
位移状态已给定，力系则可根据我们的意图来虚设。在拟求位移

的方向设置单位荷载，根据平衡条件，可得支座A的反力

＝

，图5-1-1（b）中的虚设平衡力系在实际刚体位移上作虚功，虚功方程为

可以求解出

在拟求的位移

方向虚设单位荷载，并利用平衡条件求出与

相应的支座反力

。这个解法称为单位荷载法。
4．支座移动时静定结构的位移计算
归纳求解步骤如下：
（1）沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力

；
（2）令虚设力系在实际位移上作虚功，建立虚功方程

（3）由虚力方程，解出拟求位移

二、结构位移计算的一般公式——单位荷载法
1．局部变形时静定结构的位移计算举例
图5-1-2（a）所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ。试求A点的竖向位移Δ。

图5-1-2
解：图5-1-2（a）中的实际位移状态可改用图5-1-2（b）来表示。这里，在B处加铰，把实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态。
为了求未知位移Δ，可虚设力系如图5-1-2（c）所示。这里，在A点沿拟求位移Δ的方向虚设单位荷载。此外．在铰B处还必须虚设一对弯矩

根据平衡条件可求出

均数值如下

令图5-1-2（c）中的平衡力系在图5-1-2（b）中的实际位移上作功，可写出虚功方程如下

解得

由此看出，位移Δ与截面相对转角θ成正比，它们之间的比例系数正好就是虚设单位荷载在该截面引起的弯矩

。
2．局部变形时的位移计算公式

3．结构位移计算一般公式

　（5-1）
4．结构位移计算的一般步骤——单位荷载法
（1）在某点沿拟求位移Δ的方向虚设相应的单位荷载；
（2）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力

和支座反力

；
（3）最后根据公式（5-1）可求出位移Δ。
5．广义位移的计算——虚设广义单位荷载
（1）广义单位荷载定义
对于公式（5-1）中的拟求位移Δ可以引申理解为广义位移。在求广义位移时，则需要根据广义位移的性质虚设一个单位荷载，称为广义单位荷载。
（2）广义位移和广义单位荷载示例，如表5-1-1所示。
表5-1-1



三、荷载作用下的位移计算
1．荷载引起的位移的计算公式

2．各类结构的位移公式
（1）梁和刚架

（2）桁架

（3）桁架混合结构

（4）拱

3．截面平均切应变γ0和系数k
（1）平均切应变γ0

（2）系数k

四、图乘法
1．图乘法及其应用条件
（1）图乘法公式

（2）应用条件
杆段应是等截面直杆段，两个图形中至少有一个是直线，标距y0应取自图中直线。
（3）正负号规则
面积

与标距

在杆的同一边时，乘积

取正号；

与

在杆的不同边时取负号。
2．几种常见图形的面积和形心位置



图5-1-3
3．应用图乘法时的几个具体问题
（1）如果两个图形都是直线图形，则标距

可取自其中任一个图形；
（2）如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段考虑；如果直杆的EI不是常数，也可进行分段考虑，保证每段图乘中杆的EI为常数即可；
（3）如果图形比较复杂，则可将其分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。
五、温度改变时的位移计算
1．位移计算公式

2．正负号规则
（1）轴力

以拉伸为正，

以升高为正；
（2）弯矩

和温差

引起的弯曲为同一方向时（即当

和

使杆件的同一边产生拉伸变形时），其乘积取正值，反之取负值。
六、变形体的虚功原理
1．变形体虚功原理
设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所作外虚功W恒等于各个微段的应力合力在变形上所作的内虚功Wi。
2．变形体虚功原理的表达式

3．变形体虚功方程的应用条件
（1）力系平衡条件

（2）变形协调条件
应变位移关系式和几何边界条件合在一起称为变形协调条件。
4．变形体虚功方程

5．虚力原理和虚位移原理
（1）虚力原理及其虚力方程
①虚力方程

②虚力原理
在虚设力系满足平衡方程并具有任意性的前提下，如果虚力方程成立，则待检查的变形状态必满足变形协调方程。反之，在上述前提下，如果已知该变形状态满足变形协调方程，则虚力方程必成立。综合起来，在上述前提下，虚力方程是变形协调方程的充分必要条件。
（2）虚位移原理及其虚位移方程
①虚位移方程

②虚位移原理
在虚设变形状态满足变形协调方程并具有任意性的前提下，如果虚位移方程成立，则待检查的力系必满足平衡方程。反之，在上述前提下，如果已知该力系满足平衡方程，则虚位移方程必成立。综合起来，在上述前提下，虚位移方程是力系平衡方程的充分必要条件。
6．单位支座位移法

七、互等定理
1．功的互等定理
在任一线性变形体系中，状态

的外力在状态

的位移上作的功

等于状态

的外力在状态

的位移上作的功

。
2．位移互等定理
在任一线性变形体系中，由荷载

所引起的与荷载

相应的位移影响系数

等于由荷载

所引起的与荷载

相应的位移影响系数

。
3．反力互等定理
在任一线性变形体系中，由位移

所引起的与位移

相应的反力影响系数

等于由位移

所引起的与位移

相应的反力影响系数

。
4．位移反力互等定理
在任一线性变形体系中，由位移

所引起的与荷载

相应的位移影响系数

，在绝对值上等于由荷载

所引起的与位移

相应的反力影响系数

，但二者相差一个负号，即

。

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