孟道骥《高等代数与解析几何》（第3版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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内容简介
目录
第5章　线性变换
　5.1　复习笔记
　5.2　课后习题详解
　　第1节　线性变换的定义
　　第2节　线性变换的运算
　　第3节　线性变换的矩阵
　　第4节　特征值与特征向量
　　第5节　具有对角矩阵的线性变换
　　第6节　不变子空间
　　第7节　二、三维复线性空间的线性变换
　　第8节　复线性空间线性变换的标准形
　5.3　名校考研真题详解
第6章　多项式矩阵
　6.1　复习笔记
　6.2　课后习题详解
　　第1节　多项式矩阵及其标准形
　　第2节　标准形的唯一性
　　第3节　矩阵相似的条件
　　第4节　复方阵的Jordan标准形
　6.3　名校考研真题详解
第7章　Euclid空间
　7.1　复习笔记
　7.2　课后习题详解
　　第1节　Euclid空间的定义
　　第2节　标准正交基
　　第3节　Euclid的空间同构
　　第4节　子空间
　　第5节　共轭变换，正规变换
　　第6节　正交变换
　　第7节　对称变换
　　第8节　酉空间及其变换
　　第9节　向量积与混合积
　7.3　名校考研真题详解
第8章　双线性函数与二次型
　8.1　复习笔记
　8.2　课后习题详解
　　第1节　对偶空间
　　第2节　双线性函数
　　第3节　二次型及其标准形
　　第4节　唯一性
　　第5节　正定二次型
　　第6节　二次型在分析中的应用
　　第7节　二次型在解析几何中的应用
　8.3　名校考研真题详解
第9章　二次曲面
　9.1　复习笔记
　9.2　课后习题详解
　　第1节　二次曲面
　　第2节　直纹面
　　第3节　旋转面
　　第4节　二次曲面的仿射性质
　　第5节　二次曲面的度量性质
　9.3　名校考研真题详解
第10章　仿射几何与射影几何
　10.1　复习笔记
　10.2　课后习题详解
　10.3　名校考研真题详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            


本书是孟道骥主编的《高等代数与解析几何》（第3版）（下册）的配套电子书，主要包括以下内容：
（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。
（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，对孟道骥主编的《高等代数与解析几何》（第3版）（下册）的课后习题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
（3）精编考研真题，培养解题思路。本书从历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对之做了详尽的解析。所选考研真题涵盖了每章的考点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。
（4）免费更新内容，获取最新信息。本书定期会进行修订完善，补充最新的考研真题和答案。对于最新补充的考研真题和答案，均可以免费升级获得。
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内容预览
第5章　线性变换
5.1　复习笔记
一、线性变换的定义
1．线性变换
设V是数域P上的线性空间，A是V的一个变换(即V到V的映射)，并满足

　（5-1）

　 （5-2）
则称A是V的一个线性变换．等式（5-1），（5-2）分别称为A保持加法与保持纯量乘法．
2．零变换
零变换0，即

3．恒等变换（单位变换）
恒等变换(单位变换)id，即

4．数乘变换
数乘变换k，即将α对应到ka．
数乘变换是线性变换．当k＝0时，为零变换；k＝1时，为恒等变换．
二、线性变换的运算
设V是数域P上的线性空间，EndV为V的所有线性变换的集合，以下为EndV中的几种运算．
1．加法
（1）定义
设

，A与B的和定义为

求和的运算称为加法．
（2）性质
若

则有

因而

2．纯量乘法
设

，k与A的积定义为

3．乘法
（1）定义
设

A与B的积定义为

（2）性质
若

，则

故

．
4．定义
（1）若V的线性变换A还是一一对应，则称A为可逆线性变换，否则称A为不可逆．
（2）设V是数域P上的线性空间，又A∈EndV定义

An称为A的n次幂．
（3）若

定义

，称为A的一个多项式．
5．定理
（1）设V是数域P上的线性空间，V的所有线性变换的集合为EndV，则
①End V对加法及纯量乘法为P上线性空间；
②End V中乘法满足结合律

且

③End V中乘法及加法适合分配律

④End V中乘法与纯量乘法满足

（2）定理2：设V是数域P上的线性空间，GL(V)为V的所有可逆线性变换的集合，则
①

；
②

；
③

，则

且

．
（3）设A是P上线性空间V的线性变换．定义P[x]到EndV的映射ΦA为

则有以下结论：
①

是线性空间P[x]到线性空问EndV的线性映射．
②

保持乘法，即

③

是P[x]的子空间，且若

，则

6．推论
（1）

则

（2）若

，以

表示

次数最低的首一多项式，称为A的最多项式，则

当且仅当

等价的说，有

7．特别说明
①线性空间EndV的零元素就是V的零变换0，A的负元素

，于是

②若k∈P，则ｋid就是由k决定的数乘变换k．
③乘法交换律一般不成立．
三、线性变换的矩阵
1．定理
（1）设

是数域P上n维线性空间V的一组基，则对于V中任意n个向量

存在唯一的线性变换A使得

（2）设

是P上线性空间V的一组基，

，则

（3）设V是数域P上n维线性空间，

为V的一组基．则EndV到Pn×n中的映射


满足下面条件：
①

是线性空间EndV到线性空间Pn×n同构映射．
②

．
③

当且仅当

为可逆方阵，且

．
④

（4）设

与

都是P上线性空间V的基，且

是从

到

的过渡矩阵，又

，则

若

，且

，则在V中有基

使得

2．矩阵线性变换的相关定义
设

为P上n维线性空间V的一组基，记

又

．称矩阵

为A在

下的矩阵．记为

在不混淆时，简记M(A)．
3．推论
（1）设

，则


（2）设

，则

存在．

又称为

的最低多项式．
（3）A的矩阵的行列式及迹均与基的选取无关．即



由于A在V的任何基下的矩阵的行列式与迹都是一样的，故可分别称为A的行列式与迹，记为detA与trA．
5．相似矩阵
（1）定义：设

若有可逆矩阵

使得

．则称A与B相似，记为

（2）性质
①反身性：

②对称性：若

，则

③传递性：若

，

，则

④

，则

⑤若

，则

，

．
四、特征值与特征向量
1．特征值与特征向量
设V是数域P上的n维线性空间，

．若有

使得

，则称λ0是Α的特征值，ε为A的属于特征值λ0的特征向量．
2．特征子空间
设V是数域P上线性空间，

．令

则

是V的子空间，且

又

关于下面三个条件等价：
（1）λ0是A的特征值；
（2）

，或

；
（3）

．
称

为A的属于λ0的特征子空间．
3．特征多项式
（1）相关定义
①设

，λ是一个文字，称

为A的特征多项式，它的根称为A的特征值或特征根．若λ0为A的特征值，则称齐次线性方程组

的非零解为A的属于λ0的特征向量．
相似矩阵的特征多项式相等．
②若

，则A在任何基下的矩阵的特征多项式是一样的，称为A的特征多项式，记为

．
　 （2）求线性变换Ａ的特征值及特征向量的步骤
①在V中取一组基

，求出A在此基下的矩阵

简记为A0．
②求特征多项式

的根，即A的特征值．
③对每个特征值λn解齐次线性方程组(4)．其基础解系就是

的基在

下的坐标．
4.Hamilton-Caylay定理
（1）定理
设

，

则

（2）推论
①设A是n维线性空间的线性变换，f(λ)是A的特征多项式，则f(A)＝0．
②设A是n维线性空间的线性变换，dA(λ)是A的最低多项式，则

五、具有对角矩阵的线性变换
1．相关定理
（1）设V是P上n维线性空间，

是A的不同的特征值，

是A的属于λi的特征子空间，则

（2）设V是P上n维线性空间，

，则下面四个条件等价：
①A在某组基下的矩阵是对角矩阵；
②A有n个线性无关的特征向量；
③

是A的不同的特征值；
④A的最低多项式

为不同的一次因式的积，即

．
2．推论
（1）设

，

为

中线性无关组，则

为V中线性无关组．
（2）设

为A的不同的特征值，则A有对角矩阵当且仅当

．
（3）设A有对角矩阵，λi为A的特征值，则λi是A的特征多项式的

重根．
（4）

为P上线性空间，

．若A的特征多项式在P中有

个不同的根，则A在某组基下的矩阵为对角矩阵．
特别地，若P＝C，A的特征多项式无重根，则A在某组基下的矩阵为对角矩阵．
六、不变子空间
1．定义
设V是P上线性空间，

，W是V的子空间．如果对任何α∈W，有Aα∈W，则称W是A的不变子空间，简称A-子空间．此时A可看作W的线性变换，称为A在W上的限制，记作

即

，且

2．性质
（1）A-子空间的和与交仍是A子空间．
（2）设

，W为A-子空间当且仅当

．
（3）若

，则

3．定理
（1）设P上n维线性空间V有直和分解

又

与

分别为W1与W2的基，

，则
①W1为A的不变子空间当且仅当

此时

．
②W1，W2都是A的不变子空间当且仅当矩阵A3＝0，此时

．
（2）设V是P上n维线性空间，

，W是A的不变子空间，π是V到商空间

上的自然同态．则存在唯一的

使得



称

为A在

上诱导的线性变换．
（3）设V是复数域C上n维线性空间．f(λ)为V的线性变换A的特征多项式．且有因式分解

，其中

时，

，则V可分解为A的不变子空间的直和

，其中

称为A的属于λi的根子空间．
4．推论
（1）V可分解为A的不变子空间的直和

，当且仅当A在某组基下的矩阵为准对角矩阵

，其中Ai为

在相应基下的矩阵．
（2）若V分解为A的不变子空间的直和

，分别以


记A，

的特征多项式，以

，

记

，

的最低多项式，则



（3）设

，且W为A子空间．又

在

上的诱导

的特征多项式分别为

；最低多项式分别为

．则



（4）

．
（5）设k≥ni，则

．
七、二、三维复线性空间的线性变换
1．相关定理及推论
（1）定理1：设V是C上2维线性空间，A∈EndV，记A的特征多项式为

则有下列结果：
①若

，则A在某组基下的矩阵为

；
②若

，有两种情形，

时．在任何基下矩阵为


时，在某组基下的矩阵为

．
（2）推论1：对应定理1中三种情形，A的最低多项式分别为

，

，

．
（3）定理2：设V是C上3维线性空间，A∈EndV，f(λ)为A的特征多项式．
①若

互不相等，则A在适当基下的矩阵为diag(λ1，λ2，λ3)．
②若

则在适当基下，A的矩阵为下面两种情形之一．

,

③若

，则当

，而

；

，而

时，在适当基下，A的矩阵分别为

,

,

（4）推论2：对应定理2中六种情况，A的最低多项式分别为

,

,

2．定义
（1）形如

的2阶方阵称为2阶Jordan矩阵．
（2）形如

，

，

，

，

，

的3阶方阵称为3阶Jordan矩阵．
注：两个2，3阶复方阵相似当且仅当它们有相同的Jordan标准形．
八、复线性空间线性变换的标准形
1．定义
（1）设

中矩阵

称为Jordan块．

中矩阵

称为Jordan矩阵，

称为J的一个Jordan块．
　 （2）任一n阶复方阵A相似于一个Jordan矩阵，此Jordan矩阵称为A的标准形．
2．引理
（1）设V是数域P上n维线性空间，

．π为V到

上的自然同态，

为A在

上的诱导，则
①

；
②

，且

为

的基．则

线性无关，进而

；
③又若A是幂零的，则

也是幂零的，且

．
（2）设V是P上n维线性空间，

，则下面三个条件等价：
①A的最低多项式

；
②A在某组基下的矩阵为Jordan块J(0，n)；
③存在α∈V使得

为V的基，而

3．定理
（1）设A是数域P上n维线性空V的幂零线性变换，即

则A在适当基下的矩阵为Jordan矩阵

（2）设V是复数域C上n维线性空间，A∈EndV，则A在V的适当基下的矩阵为Jordan矩阵．
4．推论
（1）若

，且

，则A在适当基下的矩阵为Jordan矩阵

（2）A∈EndV，在某组基下的矩阵为

则

又若

为A在

上的诱导，则

（3）任一复n阶方阵A相似于一个n阶Jordan矩阵，此Jordan矩阵称为A的标准形．

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