同济大学数学系《高等数学》（第7版）（上册）【教材精讲＋考研真题解析】讲义与视

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内容简介
视频讲解教师简介
目录
第1章　函数与极限[视频讲解]
　1.1　本章要点详解
　1.2　配套考研真题解析
第2章　导数与微分[视频讲解]
　2.1　本章要点详解
　2.2　配套考研真题解析
第3章　微分中值定理与导数的应用[视频讲解]
　3.1　本章要点详解
　3.2　配套考研真题解析
第4章　不定积分[视频讲解]
　4.1　本章要点详解
　4.2　配套考研真题解析
第5章　定积分[视频讲解]
　5.1　本章要点详解
　5.2　配套考研真题解析
第6章　定积分的应用[视频讲解]
　6.1　本章要点详解
　6.2　配套考研真题解析
第7章　微分方程[视频讲解]
　7.1　本章要点详解
　7.2　配套考研真题解析
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            
同济大学数学系《高等数学》（第7版）（上册）是我国高校广泛采用的普通数学权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定为考研考博专业课参考书目。
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（1）本章要点详解。该部分主要归纳总结各章的重要知识点。圣才名师精讲各章重难点知识点，介绍复习方法，透析核心考点。
（2）配套考研真题解析。精选名校考研真题，并提供详尽答案，帮助考生强化训练以巩固本章知识点并学会灵活运用。
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内容预览
第1章　函数与极限[视频讲解]
1.1　本章要点详解
本章要点
■映射与函数
■数列的极限
■函数的极限
■无穷小与无穷大
■极限运算法则
■极限存在准则及两个重要极限
重难点导学
一、映射与函数

1．集合
（1）定义
具有某种特定性质的事物的总体称为集合．组成集合的事物称为元素．不含任何元素的集合称为空集，记作?．
（2）表示法
①列举法．
②描述法．
（3）集合之间的关系及运算
①集合相等
设有集合A，B，若x

A必有x

B，则称A是B的子集，或称B包含A，记作A?B．若A?B且B?A，则称A与B相等，记作A＝B．
②集合运算
a．并集A∪B＝{x|x

A或x

B}；
b．交集A∩B＝{x|x

A且x

B}；
c．差集A\B＝{x|x

A且x

B }；
d．余集BAC＝A\B（其中B?A）；
e．直积A×B＝{(x，y)|x

A，y

B}．
2．映射
（1）映射概念
设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

，其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作f（x），即

而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作

即

；X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作Rf或f（X），即

（2）映射三要素
包括：①定义域

；②值域f（X）；③对应法则f．
（3）映射的特点
对每个x∈X，元素x的像y是唯一的；而对每个

，元素y的原像不一定是唯一的．
（4）满射
设f是从集合X到集合Y的映射，若

，即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的满射．
（5）单射
若对X中任意两个不同元素

，它们的像

则称f为X到Y的单射．
（6）一一映射（双射）
f既是单射，又是满射，则称f为一一映射（或双射）．
（7）逆映射与复合映射
①逆映射
设f是X到Y的单射，则由定义，对每个

，有唯一的x∈X，适合f（x）＝y．则可定义一个从Rf到X的新映射g，即

，对每个

，规定g（y）＝x，则x满足f（x）＝y．这个映射g称为f的逆映射，记作

，其定义域

值域

．
注：只有单射才存在逆映射．
②复合映射
设有两个映射

，

其中

，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个x∈X映成f[g（x）]

Z．显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作

，即

③复合映射的条件
在两个映射

，

组成的复合映射中，g的值域Rg必须包含在f的定义域内，即

．
3．函数
（1）函数的概念
①函数的定义
设数集D

R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，简记为

其中x称为自变量，y称为因变量．D称为定义域，记作

，即

．
②函数值域
函数值f（x）的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作Rf或f（D），即

③相同函数所具备的的特点
a．定义域相同；
b．对应法则也相同．
④函数的表示方法
表格法、图形法、解析法（公式法）．
（2）函数的几种特性
①有界性
a．上界：若存在K1，对任意

有

，则称函数f（x）在I上有上界，而

称为函数f（x）在I上的一个上界．
b．下界：若存在K2，对任意

有

，则称函数f（x）在Ｉ上有下界，而

称为函数f（x）在Ｉ上的一个下界．
c．有界：若对任意

，存在M＞0，总有

，则称f（x）在I上有界．
②单调性
a．单调递增当

时，

b．单调递减当

时，

．
③周期性
a．定义f（x＋T）＝f（x）（T为正数）．
b．最小正周期函数所有周期中最小的周期称为最小正周期．
④奇偶性
f（x）的定义域关于原点对称，则
a．偶函数f（－x）＝f（x），图形关于y轴对称．
b．奇函数f（－x）＝－f（x），图形关于原点对称．
（3）反函数与复合函数
①反函数的定义
设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射f－1：

，称此映射

为函数f的反函数．
②反函数的特点
a．当f在D上是单调递增函数，f－1在f（D）上也是单调递增函数；
b．当f在D上是单调递减函数，f－1在f（D）上也是单调递减函数；
c．f的图像和f－1的图像关于直线y＝x对称，如图1-1-1所示．

图1-1-1
③复合函数
a．复合函数定义
设函数y＝f（u）的定义域为

函数u＝g（x）的定义域为

且其值域

则函数

称为由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）构成的复合函数，它的定义域为

，变量u称为中间变量．
注：函数g与函数f构成的复合函数，即按“先g后f”的次序复合的函数，记为

，即

b．构成复合函数的条件
g与f能构成复合函数

的条件是：函数g的值域Rg必须包含于函数f的定义域Df，
即

．
（4）初等函数
①5类基本初等函数
a．幂函数：

．
b．指数函数：

．
c．对数函数：

．
d．三角函数：

．
e．反三角函数：

．
②初等函数定义
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．
二、数列的极限

1．数列极限的定义
（1）数列的概念
如果按照某一法则，对每个

对应着一个确定的实数

这些实数

按照下标n从小到大排列得到的一个序列

就称为数列，简记为数列

．
（2）数列的项与通项
数列中的每一个数称为数列的项，第n项

称为数列的一般项（或通项）．
（3）数列极限
①数列极限的定义
设

为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式

都成立，则称常数a是数列

的极限，又称数列

收敛于a，记为

或

．
②数列发散
如果不存在这样的常数a，称数列

没有极限，或数列

是发散的，即

不存在．
③表达符号
“对于任意给定的

”写成

“存在正整数N”写成

数列极限

的定义可表达为

注：

表示“对于任意给定的”或“对于每一个”，

表示“存在”．
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列

收敛，则它的极限唯一．
（2）有界性
如果数列

收敛，则数列

一定有界．
①有界数列
对于数列

如果存在正数M，使得对于一切

都满足不等式

则称数列

是有界的．
②无界数列
对于数列

如果不存在正数M，使得对于一切

都满足不等式

则称数列

是无界的．
（3）保号性
如果

且a＞0（或a＜0），则存在正整数N＞0，当n＞N时，都有

．
推论：如果数列

从某项起有

且

，则a≥0（或a≤0）．
（4）收敛数列与其子数列间的关系
①如果数列

收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a．
②如果数列

有两个子数列收敛于不同的极限，则数列

是发散的．
③一个发散的数列也可能有收敛的子数列．
3．极限存在法则
（1）夹逼准则

（2）单调有界准则
单调有界数列必有极限．
（3）柯西收敛准则
三、函数的极限

1．自变量x趋于有限值

时函数的极限
（1）定义
设函数f（x）在点

的某一去心邻域内有定义．如果存在常数A，对于任意给定的正数

（不论它多么小），总存在正数

使得当x满足不等式

时，对应的函数值f（x）都满足不等式

则常数A称为函数f（x）当

时的极限，记作

注：定义中

表示

，所以

时f（x）有没有极限，与f（x）在点

是否有定义并无关系．
（2）保号性定理
①定理如果

且A＞0（或A＜0），则存在常数

使得当

时，有

．
推论如果

则存在着

的某一去心邻域

当

时，有

．
②如果在

的某去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且

则A≥0（或A≤0）．
（3）左极限与右极限
①左极限
在

的定义中，把

改为

则A就称为函数f（x）当

时的左极限，记作

．
②右极限
在

的定义中，把

改为

，则A就称为函数f（x）当

时的右极限，记作

．
注左极限及右极限各自存在并且相等，即

.
2．自变量趋于无穷大时函数的极限
设函数f（x）当|x|大于某一正数时有定义．如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|＞X时，对应的函数值f（x）都满足不等式

，则常数A就称为函数f（x）当

时的极限，记作

四、无穷小与无穷大

1．无穷小
如果函数f（x）当

（或

）时的极限为零，则称函数f（x）为当

（或

）时的无穷小．特别地，以零为极限的数列

称为

时的无穷小．
2．无穷大
（1）定义
设函数f（x）在

的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数

（或正数X），只要x适合不等式

（或|x|＞X），对应的函数值f（x）总满足不等式|f（x）|＞M，则称函数

是当

时的无穷大．
（2）注意
当

时的无穷大的函数f（x）的极限是不存在的，也称“函数的极限是无穷大”，并记作

．如果在无穷大的定义中，把

换成f（x）＞M（或f（x）＜－M），就记作

（3）渐近线
设曲线y＝f（x）
①斜渐近线y＝kx＋b



特别地，当k＝0时，曲线有水平渐近线y＝b．
②垂直渐近线
若

（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为

．
3．无穷大与无穷小之间的关系
在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，则

为无穷小；反之，如果

为无穷小，且f（x）≠0，则

为无穷大．
五、极限运算法则

1．无穷小运算法则
（1）定理1
两个无穷小的和是无穷小．有限个无穷小之和也是无穷小．但是无限个无穷小之和不一定是无穷小，例如

（2）定理2
有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
①推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小．
②推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小．
2．极限的四则运算法则
（1）函数极限的四则运算法则
如果

，则
①

；
②

；
③若又有

，则

推论1 如果limf（x）存在，而c为常数，则

推论2 如果

存在，而n是正整数，则

（2）数列极限的四则运算法则
设有数列

．如果

，则
①

②

③

一般地

3．复合函数的极限运算法则
设函数

是由函数

与函数

复合而成，

在点

的某去心邻域内有定义，若


，且存在

，当

时，有

，则

六、极限存在准则及两个重要极限

1．函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
（1）函数极限与数列极限的关系

有定义，且

时，有

，其中

也可以是无穷．
（2）函数极限存在的夹逼准则
①当

（或

）时，

；
②

，则

存在，且等于A．
2．两个重要极限

3．常见函数的极限
（1）

.
（2）

（3）

.（令t=arcsinx）.
（4）

（令t=－x）.
（5）

（6）幂指函数的极限
一般地，对于形如

的函数（通常称为幂指函数），如果

，则

注：这里三个lim都表示在同一自变量变化过程中的极限．
4．有关

的不等式

或

七、无穷小的比较

1．相关无穷小的定义
（1）高阶无穷小
如果

，则β是比α高阶的无穷小，记作

．
（2）低阶无穷小
如果

，则β是比α低阶的无穷小．
（3）同阶无穷小
如果

，则β与α是同阶无穷小．
（4）k阶无穷小
如果

，则β是关于α的k阶无穷小．
（5）等价无穷小
如果

，则β与α是等价无穷小，记作

．
2．定理
设

且

存在，则

．
3．常用的等价无穷小

八、函数的连续性与间断点

1．函数的连续性
（1）连续
设函数y＝f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果

，或

则称函数y＝f（x）在点x0连续．
（2）左连续和右连续
①左连续
如果

存在且等于f（x0），即

，则称函数f（x）在点x0左连续．
②右连续
如果

存在且等于

，即

，则称函数f（x）在点x0右连续．
③连续函数
在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，又称函数在该区间上连续．
④有理分式函数的连续性
对于有理分式函数

，只要

，则

．因此有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的．
2．函数的间断点
（1）函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义的三种情形
①在x＝x0没有定义；
②虽在x＝x0有定义，但

不存在；
③虽在

有定义，且

存在，但

．
（2）函数间断点的定义
函数f（x）在点x0处不连续，则称点x0为函数f（x）的不连续点或间断点．如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限

及右极限

都存在，则x0称为函数f（x）的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．
（3）函数间断点的类型
①第一类间断点
a．可去间断点在间断点处函数左右极限相等．
b．跳跃间断点在间断点处函数左右极限不相等．
②第二类间断点
a．无穷间断点在间断点处函数极限为无穷大（或无穷小）．
b．振荡间断点在趋近间断点的过程中，函数值在某个区间内变动无限多次．
九、连续函数的运算与初等函数的连续性

1．连续函数的和、差、积、商的连续性
设函数f（x）和g（x）在点x0连续，则它们的和（差）

、积

及商

（当

时）都在点x0连续．
2．反函数与复合函数的连续性
（1）反函数的连续性
如果函数

在区间

上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数

也在对应的区间

上单调增加（或单调减少）且连续．
（2）复合函数的连续性
①定理1
设函数

由函数

与函数

复合而成，

．若

，而函数

连续，则

②定理2
设函数

是由函数

与函数

复合而成，

．若函数

在

连续，且

，而函数

在

连续，则复合函数

在

也连续．
3．初等函数的连续性
（1）基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．
（2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的．定义区间，就是包含在定义域内的区间．
十、闭区间上连续函数的性质

1．最值定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值．
2．介值定理
（1）零点定理
设函数f（x）在闭区间

上连续，且f（a）与f（b）异号（即f（a）·f（b）＜0），则在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使

．
（2）介值定理
设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使得

推论在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）的值域为闭区间[m，M]，其中m与M依次为f（x）在[a，b]上的最小值与最大值．
3．一致连续性
（1）一致连续性定义
设函数f（x）在区间I上有定义．如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当

时，有

则称函数f（x）在区间I上一致连续．
（2）一致连续与连续的关系
如果函数f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在区间I上一定连续；当f（x）在区间I上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续．
（3）一致连续性定理
如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在该区间上一致连续．

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