2017年下半年全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）题库

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内容简介
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第一部分　历年真题及详解
　2015年下半年全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）真题及答案（回忆版）
　2015年上半年全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）真题及详解
　2014年下半年全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）真题及详解
　2012年下半年全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）真题及详解
第二部分　章节题库
　第1章　学科知识
　第2章　课程知识
　第3章　教学知识
　第4章　教学技能
第三部分　模拟试题及详解
　全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）模拟试题及详解（一）
　全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）模拟试题及详解（二）
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内容预览
第一部分　历年真题及详解
2015年下半年全国统考教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）真题及答案（回忆版）
一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）
略。
二、简答题（共5题，每题7分，共35分）
1．一条光线斜射在一水平放置的平面上，入射角为π／6，请建立空间直角坐标系，并求出反射光线的方程。若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求出旋转曲面的方程。
答：以此光线与平面的交点为原点建在空间直角坐标系，如下图：

则入射光线所在直线过原点且在yoz坐标面上，所以入射光线的直线方程为


=

y，而反射光线与入射光线关于z轴对称，所以反射光线的直线方程为z=-

y，而此时法线为z轴，故将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，即是绕z轴旋转一周，则得出旋转曲面的方程是将反射光线的直线方程中的y改成

，得到方程为z=


2．求证：非齐次性方程组：

有唯一解，当且仅当向量

线性无关。
答：证明：（1）当非齐次性方程组：

有唯一解时，假设向量

线性相关，则

,即

，原方程组可化为

当c′=kc时，非齐次线性方程组有无穷多解，与方程组有唯一解矛盾；当

时，非齐次线性方程组无解，与方程组有唯一解矛盾。
所以

，线性无关。
（2）当向量

线性无关时，

可逆，则

，

有唯一解。
3．某飞行表演队由甲乙两队组成，甲队由喷红色雾和绿色雾的飞机组成，各3架。乙队仅有3架喷红色雾的飞机。在一次表演中，需要从甲队抽3架到乙队组合混合表演队，并且任意指定一架为领飞机，求领飞机是绿色雾的概率。
答：1/4
分两步进行计算，先选出含有喷绿色烟雾的飞机的概率，再选领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率。最后乘起来即得。
第一步：先选出甲队中含喷绿色烟雾的飞机的概率
若选出的有1架是喷绿色烟雾的飞机概率为

若选出的有2架是喷绿色烟雾的飞机概率为

若选出的有3架是喷绿色烟雾的飞机概率

第二步：
6架中含有l架是喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率为

6架中含有2架是喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率为

6架中含有3架是喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率为

所以，最终所选的领队飞机是喷绿色烟雾的概率为


4．阐述：确定数学课程内容的依据。
答：在普通高中课程标准中规定数学课程标准、单元目标和具体数学知识点三者的结合。确定教学内容时，特别要注意以下三点：
（1）是数学知识的主要特征。一个数学知识点内容是极为庞杂的，教师应该选择该数学知识点最本质的东西作为教学的重点。
（2）是学生的需要。确定知识点的教学内容也不是由教材一个要素决定的，还涉及到学生认知发展阶段性的问题。因此也不可能是教材有什么就教什么、学什么，教师只能选择教材内容与学生认知发展相一致的内容作为教学内容。
（3）是编者的意图。编者的意图主要是通过例题以及课后的练习题来体现的。数学例题以及课后练习题的重要性在数学课程中要远远高于其他学科，因为数学例题以及练习题是数学课程内容建设—个不可或缺的组成部分。在其他课程中，练习题最多只是课程内容的重现，有的只属于教学领域，作为一种教学手段，对课程本身并没有很大影响。但数学课不是这样，数学课“教什么”在相当程度上是由练习题或明或暗指示给教师的。
5．抽象是数学的本质特征，数学的抽象性表现值哪些方面，请举例。
答：数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象的，所以表现在以下几个方面：
（1）表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象，如运算律，空间几何的一些证明。
（2）表现为思考事物的纯粹的量。广泛使用抽象符号，不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是抽象的，并且大量使用抽象的符号，如空间几何图形的位置关系的定义，数量间的加减乘除方法的归类。
（3）它在抽象过程中抛开较多的事物的具体的特性，因而具有十分抽象的形式。数学的抽象是逐级抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景，如数形结合得出函数单调性和奇偶性性质。
（4）高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须要以具体为基础。
（5）数学语言具有高度抽象性，因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力。学会有关的数学术语和符号，正确依据数学原理分析逻辑关系，才能达到对书本的本真理解。同时数学有它的精确性，每个数学概念、符号、术语部有其精确的含义。没有含糊不清或易产生歧义的词汇，结论错对分明，因此数学阅读要求认真细致，同时必须勤思多想。
三、解答题（10分）
1．叙述证明拉格朗日微分中值定理，并简述拉格朗日微分中值定理与中学数学内容的关系。
答：如果函数y=f（　x）满足
（1）在闭区间[a，b]上连续；
（2）在开区间（　a，b）内可导。
则存在E∈（　a,b），使


证明：已知f（　x）在闭区间[a，b]上连续，在（　a，b）内可导，
构造辅助函数

验证可得

，
又因函数

在闭区间[a，b]上连续，
在开区间（　a，b）内可导，
且

根据罗尔定理可知在（　a，b）内至少有一点￡使得

，
即

由此可得

定理证毕。
拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础，是应用数学研究函数在区间上整体性质的有力工具。拉格朗日中值定理在中学数学中应用非常广泛，如利用导数来研究函数的某些性质，证明不等式和方程根的存在性、描绘函数的图像、解决极值、最值等。
四、论述题（15分）
2．“数学的严谨性和量力性相结合”的数学教学原则的内涵，并以“√2是无理数”的教学中如何体现该教学原则。
答：（1）数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性，量力性是指学生的可接受性。
这一原则，说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的提高，逐渐增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。
显然这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是在学习过程中，学生的心理发展是逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平。这种心理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，而应该在不同的教学阶段，依据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨性要求，即数学教学的严谨性是相对的。
（2）在证明“√2是无理数”的教学过程，对严谨性要求，应设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，要求做到推理有据，证明要步步有根据、处处有逻辑。在推理有据的同时并不排斥直观和猜想，强调思维的严谨性，允许猜想，辩证地处理好推理的有据和猜想的关系。
由于学生对无理数不熟悉，在实际教学过程中采用反证法，先假设是有理数。教学中可以由教师给出证明步骤，让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，逐步过渡到学生自己给出严格证明，最后要求达到立论有据，论证简明。“因为如果x是有理数，那么x可以写成最简分数

，（p、q是整数，P与q互质）的形式。于是

即

，由于

是偶数，所以p也是偶数。不妨设

，可得

，即

，而

是偶数。所以

应是偶数，这样

、

都是偶数了，它们的公约数是2，与

、

互质矛盾可见，

不是有理数，而是无理数。
在教学过程中，不能消极适应学生，降低理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织教学。
五、材料分析题（本大题1小题，20分）
阅读案例，并回答问题。
1．某教师关于“反比例函数图像”教学过程中的三个步骤为：
第一步：复习回顾
提出问题：我们已经学过一次函数的哪些内存？是如何研究的？
第二步：引入新课
提出问题：反比例函数的图像是什么形状呢？
引导学生利用描点法画出y=1／x的图像。
列表：

描点。
连线：引导学生用光滑的曲线连接描点，并用计算机演示图像的生成过程。在此过程中启发学生思考，由于x，y都不能为0，所以函数图像与x轴、y轴不能有交点（　如下图）

（1）该教学过程的主要特点是什么？
（2）在第二步的连线过程中，如果你是该老师，如何引导学生思考所连的线不是折线？
（3）对于第三步的?，如果你是该老师，如何引导学生思考函数图像在第一象限（或第三象限）的变化？
答：（1）在导入过程运用了温故知新导入，优势是可以帮助学生复习已经学习过的知识，从学习过的知识过程当中找到前后联系，从而引出新课题，帮助学生快速进入课堂，在新课教学过程中让学生通过动手操作,画出反比例函数图像。但是在引导学生运用列表法的时候选出的点不够有代表性，x轴不能都是整数，可以随机地选取一部分分数，为下边讲解函数图像是一条光滑的曲线做准备。另外在此过程中利用现代教学手段，计算机演示是一种很好的教学方法，可以很直观地将函数图像的动态画面展示给学生，方便学生建立数形结合的意识。第三步，组织学生观察讨论曲线特点，根据选取图像中若干特殊点，总结在第一象限以及第三象限的变化情况。
（2）反比例函数图像的特点是光滑的曲线，而不是折线，这是区别一次函数图像最大的特点。首先我会请学生分小组讨论这个问题。如果反函数的图像的点是用折线连起来会是什么图形，用曲线连起来会是什么图形。给学生3分钟时间讨论。在讨论的过程中我会给与学生提示，我们选取的点是有限的，其实反比例函数的点是无数个的，为什么正多边形的边无限增多就变成了光滑的圆。讨论结束由小组代表回答，鉴于这个问题有难度，在学生回答结束之后我会给予详细的讲解，反比例函数的图像可通过描点法给出，折线是由若干直线组合而成，而直线必须对应一个一次函数，显然反比例函数不能对应到一次函数上，所以它不是折线，而是曲线。另外我们只是描了图像上少数的几个点，图像构架比较空，所以自然地认为看起来应该用折线连，如果多描几个点，多到密密麻麻的情况，就会明白其实这个就和“正多边形边数越多越接近圆，圆就是正多边形边数无限大时的情况”的道理是一样的，逐步提升学生有限无限思想。
（3）在此环节我将组织学生通过选取若干特殊点进行比较，独立思索曲线的变化情况，并鼓励学生大胆说出自己的想法，并给予鼓励，已达到锻炼学生从数学模型中抽象出数学结论的能力，对于数学图像的变化得到初步的锻炼以及提升。
六、教学设计题（共30分）
1．《义务教育教学课程标准（2011年版）》关于平行四边形的性质和教学要求是：探索并证明平行四边形的性质定理——平行四边形的对边以及对角相等。请基于该要求，完成下列教学设计任务：
（1）设计平行四边形性质的教学目标。（　6分）
（2）设计两种让学生发现平行四边形性质的教学流程。（　12分）
（3）设计平行四边形性质证明的教学流程，使学生领悟证明过程中的教学思想方法。（　12分）　
答：（1）平行四边形性质的三维教学目标如下：
知识与技能：知道平行四边形的概念，探索并证明平行四边形边、角的性质定理，提高分析推理思维能力。
过程与方法：经历对平行四边形性质的探索过程，明确性质的条件和结论，并能运用性质解决问题。
情感态度与价值观：在合作探究中体会解决问题的快乐，提高实践能力和合作交流能力。
（2）发现探究平行四边形性质的流程：
首先，引导学生以四人为一个学习小组，自主根据平行四边形的定义任意绘制平行四边形并观察。
其次，通过多媒体以问题串的形式呈现出以下问题：“除了两组对边分别相等，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？量一量，检验一下与你的猜想一致吗？”让学生组内讨论分析。
最后，在学生探究并讨论结束后，请一两个小组代表汇报本组的发现。教师适时予以引导，得出猜想：平行四边形对边、对角相等。
首先，通过多媒体呈现问题“小明同学用量角器量出平行四边形的一个内角是77°，就说知道了其余三个内角的度数；用直尺量出了一组邻边的长分别为40cm和45cm，就知道这个平行四边形的周长。你知道小明同学是怎么计算的吗？”引导学生以学习小组的形式进行讨论。
其次，讨论结束后，请几个小组代表汇报本组的观点，教师将观点进行总结归纳，与学生一起得出猜想：平行四边形对边、对角相等。
（3）平行四边形性质证明的教学流程如下：
首先，通过问题（2）中的任一流程得出平行四边形的性质：猜想平行四边形对边、对角相等。
其次，口头提出任务“得出猜想后，能否用文字和符号语言将其证明出来？”并给予学生一定的时间，让其先不看书中证明步骤，利用之前所学知识进行自主证明。此时，教师走到学生中间，必要时予以点拨，比如添加辅助线，先证明两三角形全等等内容。
再次，请三个小组的代表到黑板上板书本组的证明过程。教师与其他小组—起分别点评之后，一起总结归纳出平行四边形关于边、角的性质定理——平行四边形的对边以及对角相等。再与学生一起对证明过程中的数学思想方法所需要用到的转化思想（通过证明三角形全等来证明对边、对角相等）进行总结归纳。
最后，再让学生将自己的证明过程与书中过程进行比对，不够合理之处予以修正。

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