西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]历年考研真题及详解

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2012年西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题
2012年西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解
2011年西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题（部分）
2011年西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题（部分）及详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            
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2012年西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题






2012年西南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解
参考答案
西南大学
2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：应用统计　 　研究方向：各方向
试题名称：统计学 试题编号：432
(答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效)
一、单项选择题(8小题，每小题5分，共40分)
1．设事件A、B相互独立，且P(A)=0.1，P(B)=0.4，则

(　 )．
（A）0.04，　
（B）0.06，　
（C）0.36，　
（D）0.42，
【答案】B查看答案
【解析】事件A、B相互独立,

则有


2．将三个球随机地放入4个杯子中去，杯子中球的最大个数是l的概率为(　 )．

　

　

　

【答案】C查看答案
【解析】杯子中球的最大个数是l，说明有一个杯子是空的，其他三个杯子各有一个球。三个球随机地放入4个杯子中去有

种放法，结果为杯子中球的最大个数是l有

种放法。则这种结果的概率

.
3．以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计)，X的分布函数是

，则等待时间恰好3分钟的概率为(　 )．
（A）0，　
（B）e-1.2，　
（C）1-e-1.2，　
（D）1．
【答案】C查看答案
【解析】


4．将n只球(1～n号)随机地放进n只盒子(1～n号)中去，一只盒子装一只球。将一只
球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，则E(X)=(　 )．

　

　

　

【答案】D查看答案
【解析】记事件

，每个盒子独立看能够配对的概率是

，则有

，得


5．设

为二维随机变量，且

则下列等式成立的是(　 )．







【答案】B查看答案
【解析】二维随机变量

，

的期望和方差具有以下几个性质：
①设

是常数，则

,

；
②设

是随机变量，

是常量，则有

,

；
③设

，

是随机变量，则有

,



；
④设

，

是两个不相关的随机变量，则

,

,

。
由性质2和3可得

。
6．设

是总体

的样本，

未知，则统计量是(　 )．

　

　

　

【答案】A查看答案
【解析】设

是从总体

中抽取的容量为

的一个样本，如果由此样本构造一个函数

，不依赖于任何未知参数，则称函数

是一个统计量。由此可知统计量是不含未知参数的样本函数，根据定义可知BCD三项都含未知参数

或

，所以都不是统计量。
7．设

来自总体

，且相互独立，则随机变量

服从的分布是(　 )．



　

　

【答案】D查看答案
【解析】设

是来自总体

的样本，则有

，

,

是相互独立的，则随机变量


8．设总体

，

未知，

为样本，S2为修正样本方差，则检验
问题：

，

(

已知)的检验统计量为(　 )．

　

　

　

【答案】C查看答案
【解析】由于

已知，故方差检验所使用的是

统计量，这是因为


，其中

是指修正后的样本方差，是

的无偏估计，本题中进行的是双侧检验。
二、填空题(6小题，每小题5分，共30分)
1．从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是

。
【解析】从五双不同鞋子中任取4只有

种取法。4只鞋子中没有配成一双有

种取法，则4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是P=

。
2．设

,

,

,则


【解析】因为

,则

，又已知



，则

,而

.
3．设

，则

．
【解析】在连续性随机变量中某一点处的概率为0，即

,

可知该正态分布关于

中心对称，则有


4．对敌人防御地段进行l00次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是2，方差是l.69，则l00次轰炸中有187～213颗命中目标的概率0.6826

【解析】设第

次轰炸命中目标的炸弹数为

则100次轰炸命中目标的炸弹数

，且

，

，由中心极限定理可知，

,则有




5．设总体

是来自X的样本。则

的联合概率密度为

。
【解析】由于总体

，则连续型随机变量

的概率密度为：



是来自

的样本，所以它们相互独立且同分布，则

的联合概率密度


6．设样本

来自总体

，则

的置信度为

的置信区间为

．
【解析】

是

的无偏估计，且有

,则

，即

,则

的置信度为

的置信区间为：

。
三、简述题(共4小题，每小题5分，共20分)
1．给出简单随机样本的概念。
答：
设

是具有分布函数

的随机变量，若

是具有同一分布函数

的、相互独立的随机变量，则称

为从分布函数

(或总体

、或总体

)得到的容量为

的简单随机样本，简称样本。它们的观察值

称为样本值，又称为

的

个独立的观察值。
简单随机样本的两个主要特点是①随机变量

之间是相互独立的；②随机变量

服从同样的分布，即有相同的概率密度函数（分布函数）。
2．简述矩估计的一般步骤。
答：用样本矩作为总体矩的估计量，用样本矩的连续函数作为总体矩的连续函数的估计量，这种估计方法叫做矩估计法。
矩估计的一般步骤：
（1）设

是总体

的简单随机样本，已知

的分布函数

其中

是待估参数。
（2）设总体的

阶原点矩为

存在，则样本的

阶矩由大数定律可知，

以概率收敛到

，即用

估计

，令

，由此得到一个包含

个未知参数

的联立方程组。从中解得

即为矩估计量。矩估计量的观察值称为矩估计值。
3．点估计的评价标准有哪些?
答：点估计的评价标准有：无偏性、有效性、相合性（一致性）、均方误差。
（1）无偏性
设

是总体

的一个样本，

是包含在总体

的分布中的待估参数，这里

是

的取值范围。若估计量

的数学期望

存在，且对于任意

有

，则称

是

的无偏估计量。
（2）有效性
设

与

都是

的无偏估计量，若对于任意

，有

且至少对于某一个

上式中的不等号成立，则称

较

有效。
（3）相合性（一致性）
设

为参数

的估计量，若对于任意

，当

时

以概率收敛于

，则称

为

的相合估计量。即，若对于任意

都满足：对于任意

，有

则称

是

的相合估计量。
关于一致性的两个常用结论：
①样本K阶矩是总体K阶矩的一致估计量。
②若

是

的无偏估计量，并且

，则


是

的一致估计量。
（4）均方误差
设

是

的一个估计（有偏的或无偏的），则称

为

的均方误差。均方误差较小意味着：

不仅方差较小，而且偏差

也小，所以均方误差是评价点估计的最一般的标准。
4．构造置信区间的枢轴量法的具体步骤是什么?
答：构造置信区间的枢轴量法的具体步骤:
(1)从未知参数

的某个点估计

出发，构造

与

的一个函数

使得

的分布（在大样本场合，可以是

的渐近分布）已知，且与

无关。该函数通常称为枢轴量。
(2)适当选取两个常数

与

，使对给定的

有

.
(3)利用不等式运算，将不等式

进行等价变形，使得最后能得到形如

的不等式。即

此时参数

的置信度为

的置信区间为

。
四、解答题(共5小题，每小题10分，共50分)
1．已知男人中有5％是色盲患者，女人中有0.25％是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少?
解：记事件

分别表示从男女人数相等的人群中随机地挑选一人为男性、女性，事件

为色盲者，则有

，

利用全概率公式可得：

利用贝叶斯公式可得：

则明此人是男性的概率是

。
2．设

在

上服从均匀分布，试求方程

有实根的概率。
解：方程

有实根的充要条件是

，解得

，根据已知条件

在

上服从均匀分布，可知

的密度函数为：

可得

，说明方程

有实根的概率为

。
3．设二维随机变量

的概率密度为

(1)试确定常数

.
解：
（1）
由于



得

。
(2)求边缘概率密度.
解：




4．设

是总体

的一个样本，

为一相应的样本值。总体X的概率密度函数为

，

，求参数

的最大似然估计量和估计值。
解：构造似然函数：

对数似然函数：

令

，则

，
得到

的最大似然估计值为

相应的最大似然估计量为

。
五、证明题(10分)
设随机变量X和Y的联合分布为：

试证明X和Y不相关，但X和Y不相互独立的。
解：

为二维随机变量，

，

根据随机变量X和Y的联合分布表得：

，

，



，

，

则

，



的联合分布为：



，即有

,说明

与

不相关。
X与Y是不相关的，但是不一定是独立的，即独立是不相关的充分非必要条件。要证明X与Y是非独立的用反证法，举反例即可。

，















由此可知

和

是不相互独立的。

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