北京市“迎春杯”数学竞赛金牌辅导（初中一年级）

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2006年北京市第21届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2005年北京市第20届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2004年北京市第19届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2003年北京市第18届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2002年北京市第17届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2001年北京市第16届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2000年北京市第15届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
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2006年北京市第21届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2005年北京市第20届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2004年北京市第19届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2003年北京市第18届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2002年北京市第17届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2001年北京市第16届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2000年北京市第15届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
2006年北京市第21届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
1．如果

、

都是质数，而且

，那么，

的值等于　　　　。
A．1　　
B．

　　
C．5　　
D．

【答案】A查看答案
【解析】由题意，

，若要使

整除5，则当

时，其个位数是3，当

时，其个位数是7，容易看出当

时，

满足题意。
【评注】考查质数和整除的性质。
2．把正整数1，2，3，…，2006随意放置在一个圆周上，每相邻的三个正整数算作一组，如果有600个组中的数全是奇数，有500个组中恰好有2个奇数，那么，恰好有一个奇数的组数为　　　　。
A．906　　
B．400　　
C．97　　
D．209
【答案】D查看答案
【解析】因为每组的可能情况为：三个奇数，三个偶数，两个奇数一个偶数，两个偶数一个奇数。
设两个偶数一个奇数有

组，三个偶数有

组。
在1，2，3，…，2006这2006个数中，有偶数1003个，奇数1003个，则有

，
解得

，故恰好有一个奇数的组数为209组．D项正确。
【评注】注意，每个数都在三个不同的组中。
3．方程

的整数解共有　　　　个。
A．150　　
B．151　　
C．450　　
D．451
【答案】B查看答案
【解析】可在数轴上将

分为

五部分来讨论．可以看出满足

的所有正整数都是原方程的解．共有

个。
4．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数分别填入图中的10个小方格中（每个数恰用一次），使得每个“田”字形的4个小方格所填数之和都于

，那么，

的最大值是　　　　。


A．26　　
B．28　　
C．32　　
D．38
【答案】B查看答案
【解析】2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数的和为

；
设填入小方格1和小方格2中的数分别为

和

，则由题意可得：

，
很显然，

能被3整除，且

．若要使

取得最大值，则

应取最大值。
当

时，

不能被3整除，舍；
当

时，

不能被3整除，舍；
当

时，

，此时

。
故

的最大值是28。
5．一个长方体水箱，从里面量的它的深是30厘米，底面的长是25厘米，宽是20厘米，水箱里已盛有深为4厘米的水．现在水箱里放入一个棱长为10厘米的立方体铁块后，水深是　　　　厘米。
A．4　　
B．4.5　　
C．5　　
D．6
【答案】C查看答案
【解析】水箱的底面积为500平方厘米，水的体积为2000立方厘米．放入铁块后，要使水能没过立方体，则需水的体积为

立方米．所以水没有没过铁块．设水深为

厘米，则

，解得

。
【评注】注意，此题要首先考虑水有没有没过铁块．若没过了铁块，则水深为

。
6．新年联欢会上，初一年级共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加了跳舞的人数两倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；11人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；50人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞有　　　　人。
A．12　　
B．15　　
C．16　　
D．20
【来源】2006年北京市第21届“迎春杯”数学科普活动日解题能力展示初中一年级复赛
【答案】D查看答案
【解析】设只参加合唱的人数为

，参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的人数为

，则只参加跳舞的人数为

，同时参加三种节目的人数为

．因为50人没有参加演奏，所以

，解得

．又因50人参加了合唱，所以

，解得

。
7．如图，

和

是能够完全重合在一起的两个直角三角形，并且

四个点在同一条直线上，

与

交于点

．如果

，

的面积等于4，那么，梯形

的面积是　　　　。

A．16　　
B．20　　
C．24　　
D．28
【答案】B查看答案
【解析】由

，

，得

．又

，得

．容易看出，

，所以

，故

．于是

。
【评注】考查平行线的性质。
8．某大学为表彰品学兼优的学生，建立了奖学金制度．其中获得奖学金的本科生每人每学期奖励1500元；研究生每人每学期奖励2500元．这个学期学校准备共发放奖学金10万元，如果获得奖学金的研究生人数不得少于获得奖学金的本科生人数的20％，那么，获得奖学金的本科生最多有　　　　人。
A．40
B．45
C．50
D．66
【答案】C查看答案
【解析】设获得奖学金的本科生有

人，则获得奖学金的研究生最少为

，由题意可得，

．解得

。
9．已知

是一个三位数（

是三个不同的数字），且由

三个数字组成的另外五个三位数之和为3595，那么这六个三位数中，最大数与最小数的差为　　　　。
A．396
B．324
C．306
D．792
【答案】D查看答案
【解析】由

三个数字组成的另外五个三位数为

，

，

，

，

，则有：

，即

。
先求最小的三位数，即从

看起：
当

，

时，

不是正整数；
当

，

时，

不是正整数；
当

，

时，

不是正整数；
当

，

时，

不是正整数；
当

，

时，

不是正整数；
当

，

时，

，满足题意。
故最小的三位数为179，最大的三位数为971，即得最大数与最小数的差为792，即D项正确。
10．正方体形状骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，一次掷两颗质地均匀的骰子，两颗骰子上出现的点数分别记作

，把出现

的可能性大小表示为最简分数

，那么，

　　　　。
A．14
B．15
C．16
D．17
【答案】A查看答案
【解析】将

分别取1，2，3，4，5，6点六种情况讨论．

取每种情况的可能性为

．对应

的每一点，

可能取的点数的个数如下表所示：

	1	2	3	4	5	6
	3	4	4	4	3	2

所以

．

14。

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