应试辅导：如何备考考研线性代数

关于数学，特别是线性代数的复习备考，这里提出“早”、“纲”、“基”、“活”的四字方略，供理工类、经济类考生参考．

　　一、“早”．提倡一个“早”字，是提醒考生考研数学备考要早计划、早安排、早动手．因为数学是一门思维严谨、逻辑性强、相对比较抽象的学科．和一些记忆性较多的学科不同，数学需
要理解的概念多，方法又灵活多变，而理解概念，特别是理解比较抽象的概念是一个渐近的过程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要从不同的角度、不同的侧面的深入研究，总之它需要时间，任何搞突击，搞速成的思想不可取，这对大多数考生而言，不可能取得成功；另一方面，早计划、早安排、早动手是采取“笨鸟先飞”之策，这是考研的激烈竞争现实所要求的，早一天准备，多一分成绩，多一份把握，现在不少大一、大二的在校生已经在准备2～3年后的考研，这似乎是早了点，但作为一个目标、作为一个追求，无可非议．作为2001年的考生，从现在开始备考，恐怕已经不算太早了．

　　二、“纲”．突出一个纲字，就是要认真研究考试大纲，要根据考试大纲规定的考试内容、考试要求、考试样题有计划地、认真地、全面地、系统地复习备考，加强备考的针对性．

　　由于全国基础数学教材(高等数学，线性代数，概率论和数理统计)并不统一，各学校、各专业对这些课程要求的层次也各不相同，因此教育部并没有指定统一的教材或参考书作为命题的依据，而是以教育部制定的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》(下称《大纲》)作为考试的法规性文件，命题以《大纲》为依据，考生备考复习当然也应以《大纲》为依据．

　　为了让广大考生对“考什么”有一定的了解(不是盲目的备考)，教育部考试中心命制的试题，每年都具有稳定性、连续性的特点．《大纲》提供的样题及历届试题也在于让考生了解“考什么”．历届试题中，从来没有出过偏题、怪题，也没有出过超过大纲范围的超纲题．当然，一份好的试题，首先要有好的区分度，使高水平考生考出好成绩，因此试题中难、易试题要有恰当的搭配；试题的总量必须有一定的限制，同时试题还要有尽可能大的覆盖面，因此一味地去做难题，甚至怪题、偏题是不可取的，“题海战术”不能替代全面、系统的复习，由于试题有极大的覆盖面，每年试题几乎都要覆盖所有的章节，因此偏废某部分内容也是不恰当的．任何“猜题”及侥幸心理都会导致失败．只有根据大纲，全面、系统地复习，不留遗漏，才不会留下遗憾．

　　请广大考生留意，今年《大纲》有一定的变化：所有的近似计算取消了，特别是数学试卷二，“线性代数初步”中取消了“初步”两字，增考了“特征值、特征向量”一章的内容．

　　三、“基”．强调一个“基”字，是指要强调数学学习中的三基，即要重视基本概念的理解，基本方法的掌握，基本运算的熟练．

　　基本概念理解不透彻，对解题会带来思维上的困难和混乱．因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延，要理解正面的含义，还要思考、理解概念的侧面、反面．例如关于矩阵的秩，教材中的定义是：A是阴Xn矩阵，若A中有一个r阶子式不为零，所有r阶以上子式(如果它还有的话)均为零，则称A的秩为r，记成rank(A)：r(或r(A)＝r，秩A＝r)．显然，定义中内涵的要点有：1．A中至少有一个r阶子式不为零；2．所有r阶以上均为零．3．若所有r+1子式都为零，则必有所有r阶以上子式均为零．要点2和3是等价条件，至于r阶子式是否可以为零？小于r阶的子式是否可以为零?所有r-1阶的子式是否可以全部为零？这些都是秩的概念的外延内容，如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解．

　　例1 设A是m×n矩阵，r(A)＝r

　　(B)有不等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式．

　　(C)有等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式．

　　(D)任何r阶子式不等于零，任何r+1阶子式都等于零．

　　答案：(B)

　　基本方法要熟练掌握．熟练掌握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆．把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决．

　　基本计算要熟练．学习数学，离不开计算，计算要熟练，当然要做一定数量的习题，通过一定数量的习题，把计算的基本功练扎实．在练习过程中，自觉的提高运算能力，提高运算的准确性，养成良好的运算习惯和科学作风．特别对线性代数而言，运算并不复杂，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中(行列式、矩阵、向量、方程组)绝大多数的运算是初等变换．用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组(或矩阵)的秩、求向量组的极大线性无关组、求方程组的解等．可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误，那你的答案将是什么样的结果？从历届数学试题来看，每年需要通过计算得分的内容均在70%左右，可见计算能力培养的重要．只听(听各种辅导班)不练，只看(看各类辅导资料)不练，眼高手低，专找难题做，这并不适合一般考生的情况，在历届考生中，不乏有教训惨痛的人．

　　四、“活”．线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应通过全面系统的复习，充分理解概念，掌握定理的条件、结论及应用，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的知识点串起来、连起来，使所学知识融会贯通，实现一个“活”字．

　　线性代数各章节的内容，不是孤立割裂的，而是相互渗透、紧密联系的．如A是n阶方阵，若，｜A｜≠0(称A为非奇阵)．<=>A是可逆阵．<=>有n阶方阵B，使得AB=BA=E．<=>B=A-1＝A*／｜A｜．<=>r(A)=n(称A是满秩阵)．<=>存在若干个初等阵P1，P2，…，PN，使得PNPN-1…P1A=E．<=>(A┆E)→(E┆A-1)．<=>A可表示成若干个可逆阵的乘积．<=>A可表示成若干个初等阵的积。<=>A的列向量组线性无关(列满秩)．<=>AX=0，唯一零解．<=>A的行向量组线性无关(行满秩)．<=>A的列(行)向量组是Rn空间的基．<=>任何n维列向量b均可由A的列向量线性表出(且表出法唯一)．<=>对任意的列向量b，方程组AX＝b有唯一解，且唯一解为A-1b<=>A没有零特征值，即λi≠O，i＝1，2，…，n．<=A是正定阵(正交阵，…)． 这种知识间的相互联系、渗透，给综合命题创造了条件，同样一个试题，可以从不同的角度有多种命制试题的方法．

例2 (2001年数学一第九题)设α1，α2，…，αs，是线性方程组AX＝0的基础解系，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也是AX=0的基础解系．

　　解析 本题的答题要点是：(1)对任意t1，t2，βi，i＝1，2，…，s仍是AX＝0的解；(2)对任意t1，t2，β1，β2，…，βs向量个数是s；(3)β1，β2，…，βs，线性无关<=>t1s+(一1)n+1t2s≠0． 满足(1)、(2)、(3)时，即，t1s+(一1)n+1t2s一1)”≠0时，β1，β2，…，βs仍是AX＝0的基础解系．

　　变式(1) (改变成线性相关性试题)

　　已知向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+ t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs线性无关．

　　变式(2) (改变成向量组的秩的试题)

　　已知向量组α1，α2，…，αs的秩为s．β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+ t2α1，试问t1，t2满足什么条件时，r(β1，β2，…，βs)＝s．

　　变式(3) (改变成等价向量组的试题)

　　已知α1，α2，…，αs线性无关，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs和α1，α2，…，αs是等价向量组．

　　变式(4) (改变成子空间的基的试题)

　　设y是Rn的子空间，α1，α2，…，αs是V的基，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也是子空间V的基．

　　难道你不认为以上的各种变式基本上是一样的吗?它们的答题要点是什么呢?

　　改变试题难度，将向量个数s具体化，则成2001年数学试卷二第十二题．

　　变式(5) 已知α1，α2，α3，α4，是线性方程组AX=0的基础解系，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，β3＝t1α3+t2α4，β4＝t1α4+t2α3，，试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，β3，β4，也是AX＝0的基础解系．

　　改变参数，你不是可以“随心所欲”吗?

　　变式(6) 已知α1，α2，…，αs是AX＝0的基础解系，β1＝t1α1+t2α2，β2＝t1α2+t2α3，…，βs＝t1αs+t2α1，试问α1，α2，…，αs，满足什么条件时，β1，β2，…，βs也是AX＝0的基础解系．

　　如果你体会不到以上各种变式实质上是一样的，那么你没有学“活”线性代数，你的知识点还是孤立的．

　　由于知识间的紧密联系和渗透，而综合考试试题不再依附于某章、某节(依附于某章、某节后面的习题，实际上是给解题人提供了用该章、该节的内容和方法解题的提示)，这会给考生解题带来困难．学“活”并非易事，需要经常总结，广开思路．

　　例3 已知A是n阶正定阵，B是n阶反对称阵，证明A-B2是正定阵．

　　解析 本题题目本身有提示性，已知的是正定阵，要证的也是正定阵，显然属于二次型中有关正定性的试题，具体解答如下．

　　B是反对称阵，故BT＝-B．

　　任给X≠0，因A正定，故XTAX>O，又XT(一B2)X＝XTBTBX＝(BX)TBX≥0．

　　故有XT(A-B2)X＝XT(A+(-B)B)X＝XT(A+BTB)X＝XTAX+(BX)TBX>O．

　　所以A-B2是正定阵．

　　变式(1) 已知A是n阶正定阵，B是n阶反对称阵．证明A-B2是可逆阵．v这个变式要求证明A-B2可逆，但已知A正定．为了利用已知条件，还可以想到A-B2是否正定，即若证明了A-B2正定，自然也就证明了A-B2可逆．

　　变式(2) 已知B是n阶反对称阵，E是n阶单位阵，证明E-B2可逆．

　　这个变式中，隐去了A是正定阵的条件，而是给了一个具体的正定阵E，要求想到用证正定的角度来证E-B2可逆，难度就相当大了，这需要经验的积累和总结．

　　由于知识间的广泛联系和相互渗透，给不少题的一题多解创造了条件．你可以从各个不同的角度去研究试题，找到一个合适的切入点，从而最终找到问题的答案．

　　总之，重视三基，重视各章节之间的联系，重视从多角度研究试题，重视灵活性和综合性，重视应用，是取得理想成绩的必由之路。

　　其实偶个人认为，在高数、线代、概率这三部分当中，线代是最简单的了，也不像高数那么灵活多变，只要掌握了基本知识，多作些题，再细心一些，这部分拿高分很容易。