南开大学2007年硕士研究生入学考试试题
学 院： 商学院
考试科目： 运筹学 专业： 管理科学与工程
注意：
请将答案写在专用答题纸上，答在此试题上无效！
一、（20分）对如下线性规划问题：
1.请写出其对偶规划模型，并求出对偶问题的最优解;
2.根据原对偶互补松弛性，求出原问题的最优解。
二、（25分）某地铁机车厂接到一个三年合同，未来三年内每年末要向客户提供3台相同型号的机车，生产费用和生产能力如下：
年度 正常时间内的生产能力（台） 加班生产能力（台） 正常生产成本（万元/台）
1 4 3 500
2 4 2 700
3 3 2 600
加班生产的成本比正常生产成本多10%，如果生产的机车当年不交货，每年的维护保养成本为生产成本的10%。
1．请你建立使总费用最小的数学模型;
2．求出最优的生产计划;
3．如果安排生产，则当年需要设备的调试费用50万元;若不生产，则既无生产费用也无调试费用。请建立总费用最小的生产计划模型（不必求解）。
三、（20分）某网络公司经测算得到右面6个结点之间的连接网络图，线旁是连接费用（万元）。
1．请给出费用最小的连接方式;
2．建立费用最小的整数线性规划
模型（不必求解）。
四、（20分）要将三口油井①②③的产油输送到炼油厂⑦⑧，线旁数据（cij,bij）分别表示结点i到j的管道日输送能力（吨）和单位输送费用（元）。
1．求从三口油井到两个炼油厂的最大流量;
2．给出最小费用最大流量的线性规划模型（不必求解）。
五、（25分）某项工程分解为8个作业，它们之间的关系、所需要的时间如下：
作业代号 所需时间（天） 紧前作业 作业代号
所需时间（天） 紧前作业
A 30 — E 8 B，D
B 15 A F 10 D
C 13 A G 16 D
D 35 C H 5 E，F，G
1．请画出该工程项目的网络图;
2．指出关键路径和整个项目的工期;
3．分别计算每个作业的总时差和自由（专用）时差。
六、（20分）
1．某公司开发了一种新产品，如果投产，估计需要费用300万元，若销售好（概率60%）收入为900万元，若销售不好（概率40%）收入为100万元。当然不投产的费用与收入都是0。公司如何决策，使得期望收益最大，期望收益是多少？
2．由于投资新产品的风险很大，公司拟采用市场调查。根据以往的经验，销售好而调查显示好的概率为85%,显示不好的概率为15%;销售不好时调查显示好的概率为20%，显示不好的概率为80%。公司希望期望收益最大，调查费用低于多少才愿意作这样的市场调查？
七、（20分）两个寡头企业进行价格竞争博弈，其中企业1决定价格p1 ,企业2决定价格p2。假设企业1的单位成本为c1=1,市场份额为q1=4 － 2p1 + 2 p2 ,利润函数π1=( p1－1)( 4 － 2p1 + 2 p2); 企业2的单位成本为c2,市场份额为q2=4 － 2p2 + 3 p1 ,利润函数π2=( p2－c2)( 4 － 2p2 + 3 p1)。假设这些信息是双方共知的。请回答：
1．两个企业同时决定价格时的均衡策略是什么？c2等于多少时两企业的利润相等？
2．假设企业1先发布价格、企业2看到企业1的价格后再制定价格，那么，这时的均衡策略是什么？
3．比较分析以上两种情况下两企业的利润，并对你的结论作出解释。 |
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