O'Stolz定理及其证明

O'Stolz定理　　设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞(以下lim均表示lim(n-->∞))
　　则有:
　　若lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=L(L可以是0,有限数,或+∞(-∞))
　　==>lim(An)/(Bn)=L
　　证明如下:
　　1)当L=0时;
　　由条件得:
　　对任意e>0 存在N使 当n>N时有:
　　|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)-L|<e,即|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)|<e;
　　又Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞,
　　原式化为:|An+1-An|<e*(Bn+1-Bn)......(1);
　　固定e,则存在N1>=N,当n>N1时,有
　　-e*BN+|AN|<e*Bn
　　即|AN|<e*(BN+Bn) ..........(2)重要!!!!!
　　|An|<=|An-An-1|+|An-1-An-2|+....+|AN+1-AN|+|AN|,代入(1)式,得:
　　<=e*(Bn-Bn-1)+.....+e(BN+1-BN)+|AN|,代入(2)式,得:
　　<e*(Bn-BN)+e*(Bn+BN)
　　即|An|<2e*Bn
　　故|(An)/(Bn)-0|<2e
　　由数列定义知lim(An)/(Bn)=0
　　2)当L=C (C!=0)时
　　即有lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=C,
　　令Cn=An-C*Bn,
　　显然有lim(Cn+1-Cn)/(Bn+1-Bn)=0,
　　由1)得:
　　故lim(Cn)/(Bn)=0,
　　即有lim(An)/(Bn)=C,
　　3)当L=+∞(L=-∞时类证)时
　　存在N,当n>N时
　　有(An+1-An)/(Bn+1-Bn)>1
　　得出An>Bn>0,且满足An>0递增且有n-->+∞时An-->+∞
　　所以lim(Bn+1-Bn)/(An+1-An)=0+ (0+即从正数趋近于0)
　　由1)得:
　　lim(Bn)/(An)=0+
　　故lim(An)/(Bn)=+∞
　　证毕
　　PS:手都打软了 问了N久都没有人会!!!!求人不如求己!!!!!

这样看着太累，最好用公式编辑器排好版，最后用图片格式发上来就完美了。