2018年概率论与数理统计考点归纳与典型题（含考研真题）详解

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内容简介
目录
第1章　概率论与数理统计的基本概念
　1.1　考点归纳
　1.2　典型题（含考研真题）详解
第2章　随机变量及其分布
　2.1　考点归纳
　2.2　典型题（含考研真题）详解
第3章　大数定律及中心极限定理
　3.1　考点归纳
　3.2　典型题（含考研真题）详解
第4章　统计量及抽样分布
　4.1　考点归纳
　4.2　典型题（含考研真题）详解
第5章　参数估计及点估计
　5.1　考点归纳
　5.2　典型题（含考研真题）详解
第6章　假设检验
　6.1　考点归纳
　6.2　典型题（含考研真题）详解
第7章　方差分析和回归分析
　7.1　考点归纳
　7.2　典型题（含考研真题）详解
第8章　随机过程及其统计描述
　8.1　考点归纳
　8.2　典型题（含考研真题）详解

内容预览
第1章　概率论与数理统计的基本概念
1.1　考点归纳
一、随机事件及其运算
1．事件间的关系
（1）包含关系
如果属于A的样本点必属于B，则称A被包含在B中（见图1-1），或称B包含A，记为A

B，或B

A。用概率论的语言说：事件A发生必然导致事件B发生。
对任一事件A，必有


A

Ω。

图1-1A

B
（2）相等关系
如果事件A与事件B满足：属于A的样本点必属于B,而且属于B的样本点必属于A，即A

B且B

A，则称事件A与B相等，记为A＝B．
（3）互不相容
如果A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容．用概率论的语言说：A与B互不相容就是事件A与事件B不可能同时发生．
2．事件间的运算
（1）和事件
事件A∪B＝{x|x∈A或x∈B）称为事件A与事件B的和事件．当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件A

B发生．
称

为n个事件A1，A2，…，An的和事件；称

为可列个事件A1，A2，…的和事件．
（2）积事件
事件A∩B＝{x|x∈A且x∈B）称为事件A与事件B的积事件．当且仅当A，B同时发生时，事件A∩B发生.A∩B也记作AB．
称

为n个事件A1，A2，…，An的积事件；称

为可列个事件A1，A2，…的积事件．
（3）差事件
事件A-B＝{x|x∈A且x

B）称为事件A与事件B的差事件．当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生．
（4）互斥事件
若

，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的．即事件A与事件B不能同时发生．基本事件是两两互不相容的．
（5）逆事件
若A∪B＝S且

，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件．对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生．A的对立事件记为

．
3．事件的运算性质
设A，B，C为事件，则有：
（1）交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；
（2）结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；
（3）分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）．
（4）对偶律（德摩根公式）
事件并的对立等于对立的交：

事件交的对立等于对立的并：

二、频率与概率
1．频率
（1）定义
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，并记成

．
（2）频率的基本性质
①

；
②

；
③若A1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则

2．概率
（1）定义
设E是随机试验，S是它的样本空间．对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数P（A）满足下列条件：
①非负性：对于每一个事件A，有P（A）≥0；
②规范性：对于必然事件S，有P（S）＝1；
③可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于

，i≠j，i，j＝1，2，…，有P（A1∪A2∪…）＝P（A1）＋P（A2）＋…
（2）概率的性质
①

②（有限可加性）若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有：
P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）
③设A，B是两个事件，若

，则有：
P（B-A）＝P（B）-P（A）与P（B）≥P（A）
④对于任一事件A，P（A）≤1；
⑤（逆事件的概率）对于任一事件A，有

；
⑥（加法公式）对于任意两事件A，B有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；
一般，对于任意n个事件A1，A2，…，An，可以用归纳法证得：

三、等可能概型（古典概型）
1．定义
如果一个随机试验具有以下两个特点：
（1）试验的样本空间只包含有限个元素；
（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同.
则这种试验称为等可能概型．
2．等可能概型的计算方法
若事件A包含k个基本事件，即A＝

，这里

，


是1，2，…，n中某k个不同的数，则有

四、条件概率
1．条件概率
（1）定义
设A，B是两个事件，且P（A）＞0，称

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．
（2）条件概率的性质
①非负性：对于每一事件B，有P（B|A）≥0；
②规范性：对于必然事件S，有P（S|A）＝1；
③可列可加性：设B1，B2，…是两两互不相容的事件，则有

注：所有概率的性质都适用于条件概率．
2．乘法定理
（1）设P（A）＞0，则有P（AB）＝P（B|A）P（A），上式也称为乘法公式．
（2）一般，设A1，A2，…，An为n个事件，n≥2，且

，则有

3．全概率公式和贝叶斯公式
（1）样本空间划分的定义
设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件．若
①

，i＝j，i，j＝l，2，…，n；
②B1∪B2∪…∪Bn＝S；
则称B1，B2，…，Bn为样本空间S的一个划分．
若B1，B2，…，Bn是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件B1，B2，…，Bn中必有一个且仅有一个发生．
（2）全概率公式
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P（Bi）＞0（i＝1，2，…，n），则P（A）＝P（A|B1）P（B1）＋P（A|B2）P（B2）＋…＋P（A|Bn）P（Bn）．
（3）贝叶斯公式
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P（A）＞0，p（Bi）＞0（i＝1，2，…，n），则

注：在n=2的情况下，全概率公式和贝叶斯公式分别成为：



五、独立性
1．两个事件的独立性
（1）定义
设A，B是两事件，如果满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立．
（2）两个定理
①设A，B是两事件，且P（A）＞0，若A，B相互独立，则P（B|A）＝P（B）．反之亦然．
②若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与

，

与B，

与

．
2．三个事件的独立性
设A，B，C是三个事件，如果满足等式

则称事件A，B，C相互独立．
3.n个事件的独立性
（1）定义
设A1，A2，…，An是n（n≥2）个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1， A2，…，An相互独立．
（2）两个推论
①若事件A1，A2，…，An（n≥2）相互独立，则其中任意k（2≤k≤n）个事件也是相互独立的．
②若n个事件A1，A2，…，An（n≥2）相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立．

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