北京大学高等代数讲义
第一学期第一次课
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
1.1.1
代数系统的概念
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。
1.1.2
数域的定义
（数域） 设K是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且K对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K内任意两个数a、b（a可以等于b），必有baKabKKbab∈≠∈/0时，，且当，∈±为一个数域。
例1.1 典型的数域举例： 复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = i |∈Q，其中i =ba+ba,1−。
任意数域K都包括有理数域Q。
证明 设K为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈aKa，且。于是KaaKaa∈=∈−=10，。
进而Z, ∈∀m0>
Km∈+……++=111。
最后，Z，∈∀nm,0>Knm∈，Knmnm∈−=−0。这就证明了Q⊆K。证毕。
1.1.3
集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念
定义(集合的交、并、差) 设是集合，与SAB的公共元素所组成的集合成为与AB的交集，记作BA∩；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与AAB的并集，记做BA∪；从集合中去掉属于AB的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。ABA\
定义（集合的映射） 设、AB为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应fAafB中唯一确定的元素（记做），则称是到)(affAB的一个映射，记为
).(,:afaBAfa→
如果Bbaf∈=)(，则称为在下的像，a称为在下的原像。的所有元素在下的像构成的bafbfAfB的子集称为A在下的像，记做，即f)A(fAafAf∈a=|)()(。
若都有则称为单射。若,'Aaa∈≠∀),'()(afaf≠f,Bb∈∀都存在，使得，则称为满射。如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应。
[ 本帖最后由 lxdyahoo 于 2009-11-19 13:24 编辑 ] |
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