统计--卡方分布

首先有个严重的问题，正态分布，卡方分布，t分布应该属于抽样分布吧，怎么张的书写的是样本分布？

正题：请问df大于2时，卡方的方差=2df这个怎么推导？

PS：我是看过一本书的推导，但其中不明白E（X4）=3？

PS2：X4为X的4次方

[ 本帖最后由 sailluotuo 于 2009-8-12 18:16 编辑 ]

个人意见：
1 抽样分布和样本分布在有的书上分的不清楚都是一个意思：sampling distribution。

2 设
X=Y1^2+Y2^2+Y3^2+...+YN^2
Yn是独立的而且服从N(0,1)
则
X服从自由度为N的卡方分布

那么D(X)=D(Y1^2)+D(Y2^2)+...+D(YN^2)
因为Yn独立，并且D(Yn^2)=E(Yn^4)-E(Yn^2)=3-1=2
D(X)=2N


其中E(Yn^4)=3
公式：E(Y^n)=(2n)!/(n!2^n) 其中Y是标准正态随机变量 n偶数
如果n为奇数时E(Y^n)=0

直接用分步积分计算也可以，高数一有方法。
另外在累积密度函数中，Gamma函数的性质也可以计算出。




不过这个不是我们需要知道的过程。考试不考推导过程。

[ 本帖最后由 「琥珀℡」 于 2009-8-13 00:06 编辑 ]

原帖由 「琥珀℡」 于 2009-8-12 21:59 发表
个人意见：
1 抽样分布和样本分布在有的书上分的不清楚都是一个意思：sampling distribution。

2 设
X=Y1^2+Y2^2+Y3^2+...+YN^2
Yn是独立的而且服从N(0,1)
则
X服从自由度为N的卡方分布

那么D(X)=D ...

悲剧啊,概率论老师泪流满面....

还是那句话:use it or lose it..

不过话说回来,套那个公式也算不出3,写错了?
再看了下高教出的概率论与数理统计,它那里的推导也是直接E(X4)=3,请问你的公式在哪本书上?

我看的概率是同济版的，那个高教版的2009年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲解析讲正态分布性质里面有一个公式是为了方便计算的，也没有给过程，但是一定可以由对称性质得到奇函数为0，第二个推出来比较麻烦，E(x^4)=x^4*f(x)从负无穷到正无穷的积分……

E(x^4)
=∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx  区间（-∞，+∞）
=2∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx  区间（0，+∞）

分步积分：
=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）+2/√(2π)∫3x^2*e^（-x^2/2）dx
=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）+2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx
积分区间（0，+∞）
1/√(2π)∫e^（-x^2/2）dx=1/2
2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx=3*2*1/2=3
而2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）
=2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）

利用洛必达法则，
lim2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）=0
所以E(x^4)=3


还有那个公式可能我找的不太对，这个积分肯定可以算出来。

天哪！
这个这个……记住公式就OK了，那些高数上的东西是不会考滴了
我是懒人，我不推导~~~飘过~~