矩阵可交换的条件是什么?

cocoyinom · 发表于 07-10-31 12:14:05

如题
AB=BA的条件,或充分必要条件是什么?
当然AB是方阵

wmlln1219心动 · 发表于 07-10-31 12:28:54

应该有不少，我举一个例子：A，B有相同的特征向量，即A的特征向量总是B的特征向量

x851109 · 发表于 07-10-31 13:34:49

貌似有很多充分条件，但是没有一个特定的充分必要条件
个人观点

lovesnftbmqj · 发表于 07-10-31 18:44:04

A可逆的话相等吧
不过结果为E

fanren1985 · 发表于 07-11-3 14:59:27

看看是不是这样。
从矩阵角度考虑，若AB=BA，则(AB-BA)x=0,即r(AB-BA)<n或者|AB-BA|=0,秩适合于抽象表达式，行列式要有具体值。
如果从向量考虑，两个矩阵相等意味着对应的各个位置的值相等。就是A的第i行乘以B的第j列等于B的i行乘以A的第j列。
最好还要有其他已知条件，要不然不好判断。

fanren1985 · 发表于 07-11-3 15:07:37

如果A可逆，等式左边同时乘以A的逆，那么就是B=(A-1)BA，同时，如果A可逆，意味着A=P1P2P3....PN，其中Pi是初等矩阵，也就是说，对B进行行变换以后，还可以通过列变换把B恢复回来，(A-1)和A的变换作用抵消了。这个就很复杂了吧。

fanren1985 · 发表于 07-11-3 15:08:32

怎么觉得我好像说了和没说一样啊

x851109 · 发表于 07-11-3 15:13:10

you got it

fanren1985 · 发表于 07-11-3 16:45:01

我got it了？
其实是这样的：
若A B为N阶矩阵，且AB=BA=E，那么称B为A的可逆矩阵。这个是充要条件。

x851109 · 发表于 07-11-3 17:22:04

楼主问的只是可交换，和可逆没关系，不可逆的矩阵也有可以交换的

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