关于李永乐书上的一点小问题

AeolusEros · 发表于 07-9-17 23:04:57

P83 2.55 P89 2.69

这两道题目后面的注解都说明了不能用洛必达法则，原因是“题设中没有给出导函数的连续性”

可是原题（以2.55为例）已经说明函数f(x),g(x)在点x=0处可导。
难道f(x)在点x=0可导不能说明f'(x)在x=0处连续吗？不是说f(x)在x=0出可导的充要条件是左导=右导=f`(x)吗？（李永乐复习全书P54页最下面也有说到这点）
既然左右导和该点的导数都存在且相等，f'(x)在x=0附近的一个定义域(可以无穷小)里应该是连续的啊，同时，这样的话用洛必达法则也就能用上了。

为什么注解里的原因说是“题设中没有给出导函数的连续性”呢？

[ 本帖最后由 AeolusEros 于 2007-9-17 11:12 PM 编辑 ]

k0k0k0k0 · 发表于 07-9-17 23:23:48

可惜，我没有二李的复习全书。

honghu069 · 发表于 07-9-17 23:39:49

f(x)在点x=0可导只能说明f(x)在x=0处连续,不能判断f\'(x)在x=0处连续，举个例子
当x<0 时 f(x)=(x^2)(sin1/x)，当x>=0时，f(x)=0,这样f\'(x)在x=0处就不连续了

AeolusEros · 发表于 07-9-17 23:45:26

极限符号不会打......

2.55原题是这样的：
设函数f(x),g(x)在点x=0处可导，且f(0)=g(0)=0, g\'(0)<>0，求limx->0 f(x)/g(x).

下面注解说不能用洛必达，然后用的是导数定义法

AeolusEros · 发表于 07-9-17 23:55:02

原帖由 honghu069 于 2007-9-17 11:39 PM 发表
f(x)在点x=0可导只能说明f(x)在x=0处连续,不能判断f\'(x)在x=0处连续，举个例子
当x=0时，f(x)=0,这样f\'(x)在x=0处就不连续了

这个例子f(x)在点x=0处不可导啊...左导,右导不相等的。

honghu069 · 发表于 07-9-18 00:10:02

如下：

[ 本帖最后由 honghu069 于 2007-9-18 12:31 AM 编辑 ]

AeolusEros · 发表于 07-9-18 00:25:28

晕,你发的是...f(x)=(x^2)(sin1/x)

呵呵，不过我明白了，谢谢honghu069

那拿你说的例子，f\'(0)=0吗？还是f\'(0)不存在？

honghu069 · 发表于 07-9-18 00:31:12

嗯，f\'(0)=0,但是f\'(x)在0这点是不连续的
你把f(x)<0的那个部分求导，然后用定义判断f\'(x)在0这点的连续性就知道不连续了

AeolusEros · 发表于 07-9-18 00:41:56

可导是左右导存在即可，该点不一定存在导数。

恩，总算是把这个困惑很久的点明白了，太感谢了。

honghu069 · 发表于 07-9-18 01:09:26

应该是在某点左右导存在，则在这点连续
左右导存在且相等才存在导数，但是这一点导数的导数不一定连续

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