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北京大学计算机系1991-2000高等数学真题参考答案
Solved by 大头白菜
1991年
一、 考查函数定义，隐函数求导以及函数单调性
1） 证明：由x=y-εsiny得dx/dy=1-εcosy
由0≤ε＜1及0≤cosy≤1知dx/dy=1-εcosy>0.
因此函数x=y-εsiny单调递增,即对每个x,都有唯一确定的y与之对应.
由上可知单值函数y=f(x)存在.
2) dy/dx=1/(1-εcosy).
二、
1、查利用幂级数的系数求收敛半径和收敛区间.
解:令an=(-1)n+1/n
|an+1/an|=n/n+1
则lim|an+1/an|=1,因此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为（-1，1）.
2、考查夹逼定理,定积分的性质
证明: 由0≤x≤1得:0≤xn/(1+x)≤xn
由定积分性质知: 0≤∫xn/(1+x)dx≤∫xndx=1/n+1
显然lim(1/n+1)=0
由夹逼定理知lim∫xn/(1+x)=0
1992年
1、 f(x)的值域为[1/2,1].
2、 1/3(换元令x=sint)
5、幂级数的收敛区间为（－1，1），收敛域为[-1,1]
当－１＜ｘ≤１时，和函数＝（1+x）ln(1+x)-x
当x=-1时,和函数=1
1993年
1、当x≠0时,f’=[2x2-(1+ x2)ln(1+ x2)]/x2(1+ x2)
当x=0时,f’=1
1994年
1、 dy/dx=-sinx*ecosx/2cos2y
2、 2(sinx-ln(1+sinx)+C
3、 ∑an绝对收敛→lim|an|=0→liman^2/|an|=lim|an|=0→∑an^2收敛（比较审敛法的极限形式）
1995年
1、 f’=2x*e-(1+x^2)^2
f’’= e-(1+x^2)^2(2-8x2-8x4)
2、 ln2-2+∏/2(根据定积分的定义，原式=∫ln(1+x2)dx)
3、 1）定义域（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）
2）奇函数
3）单调递增区间（-∞，-√3], [√3, +∞）
单调递减区间[-√3，-1]，（-1，1），（1，√3]
极大值点x=-√3
极小值点x=√3
4）凸区间（-∞，-1），（0，1]
凹区间（-1，0]，（1，+∞）
拐点（0，0）
5）垂直渐进线x=1和x=-1
斜渐进线y=x
无水平渐进线
6）草图略
5、-x(1+x)/(x-1)3 (-1<x<1)
1996年
1、dy/dx=f(-x) (换元令u=t-x)
2、n!+(n+1)!x+(n+2)!/(2!)^2x^2+……(2n)!/(n!)^2x^n+…… ＝∑(n+m)!/(m!)^2 x^m (m从0到+∞) -∞<x<+∞
(先将xnex展开，然后再逐项求n阶导)
1997年
1、0 （等价无穷小替换和洛必达法则）
3、 证明：由已知可得-1≤xn≤1
当0≤xn≤1，xn+1=sinxn≤xn,则{xn}单调递减并有下界，因此limxn必存在。
当-1≤xn≤0，0≤-xn≤1，- xn+1=sin（-xn）≤-xn,因此xn+1≥xn, 则{xn}单调递增且有上界，因此limxn必存在。
lim xn=0
4、x-x2/22+x3/32-……(-1)n-1xn/n2…… (-1≤x≤1)
收敛区间（-1，1），收敛域[-1，1]
1998年
1、1/2 （分子有理化）
2、∏/4-ln2/2
3、和函数=x/(x-1)2，收敛域（-∞，-1）∪（1，+∞） (换元t=1/x)
1999年
1、 y’|（1,1）=-1
y’’|(1,1)=0
2、∫xf(x)dx=sinx-∑(-1)nx2n+1/(2n+1)!(2n+1)+C
(∫sinx/x dx先把sinx展开成幂级数再逐项积分)
3、2∑x2n+1/2n+1,收敛域为（-1，1）
2000年
1、d2y/d2x=(y-1)(3-y)/x2(2-y)3
2、面积S=∫√ydy(从0到a2)+∫(x2-a2)dx(从a到1)=4/3a3-a2+1/3 0≤a≤1
S在a=1/2时取最小值1/4，A点坐标为（1/2，1/4）
3、由Un+1/Un≥Vn+1/Vn及Un,Vn>0有Vn≤(Vn-1/Un-1)Un
(Vn-1/Un-1) ≤(Vn-2/Un-2)……≤U1/V1
Vn≤（U1/V1）Un
Un收敛，由比较审敛法知Vn收敛。 |
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