2018年考研数学（一）历年真题与模拟试题详解

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内容简介
目录
第一部分　历年真题及详解
　2017年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解
　2016年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解
　2015年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解
　2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解
　2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解
　2012年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解
　2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解
　2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解
　2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解
　2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解
第二部分　模拟试题及详解
　全国硕士研究生招生考试考研数学一模拟试题及详解（一）
　全国硕士研究生招生考试考研数学一模拟试题及详解（二）
　全国硕士研究生招生考试考研数学一模拟试题及详解（三）

内容预览
第一部分　历年真题及详解
2017年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解
一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1．若函数

在

处连续，则（　　）．
A．

B．

C．

D．

【答案】A查看答案
【考点】连续的定义；等价无穷小
【解析】由连续的定义知

，即

，又当

时，

，代入得

，即

．
2．设函数

可导，且

，则（　　）．
A．

B．

C．

D．

【答案】C查看答案
【考点】导数
【解析】构造函数

，求导得

，由已知条件知函数

单调递增，即

，代入得

，即

．
3．函数

在点

处沿向量

的方向导数为（ ）．
A．12
B．6
C．4
D．2
【答案】D查看答案
【考点】方向导数
【解析】计算方向余弦得：

，偏导数

，得


4．甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线

（单位：m/s）.虚线表示乙的速度曲线

，三块阴影部分面积的数值依次为10、20、3，计时开始后乙追上甲的时刻记为

（单位：s），则（　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C查看答案
【考点】定积分的几何意义
【解析】从0到

时刻，甲乙的位移分别为

与

．根据图像，

时，甲在乙前方10m，由定积分的几何意义知，乙追上甲满足方程：

．而在

时，乙比甲多跑10m，满足题意，故

．
5．设

为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）．
A．

不可逆
B．

不可逆
C．

不可逆
D．

不可逆
【答案】A查看答案
【考点】行列式与特征向量得关系；可逆矩阵与行列式的关系
【解析】设

，则

的特征值为

，易得

的特征值为

，所以

，又A为可逆矩阵的充要条件是

，所以

不可逆．
6．已知矩阵

，则（　　）．
A．

与

相似，

与

相似
B．

与

相似，

与

不相似
C．

与

不相似，

与

相似
D．

与

不相似，

与

不相似
【答案】B查看答案
【考点】相似
【解析】计算知A、B的特征值均为2、2、1，A有3个线性无关的特征向量，B只有2个，观察知C为对角矩阵，因此A与C相似，B与C不相似．
7．设A、B为随机概率，若

，则

的充分必要条件是（　　）．
A．

B．

C．

D．

【答案】A查看答案
【考点】概率公式计算
【解析】因为

，得

，化简得

．A项，

，因为

，所以

．
8．设

为来自总体

的简单随机样本，记

，则下列结论正确的是（　　）．
A．

服从

分布
B．

服从

分布
C．

服从

分布
D．

服从

分布
【答案】B查看答案
【考点】

分布
【解析】A项，

，故

．
B项，

，即

．
C项，由

．
D项，

，则

，所以

．
二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。）
9．已知函数

，则


【答案】0查看答案
【考点】泰勒公式；导数
【解析】因为

，求三阶导数得

，代入得

．
10．微分方程

的通解为

【答案】

【考点】利用特征方程求解微分方程通解
【解析】由微分方程知，特征方程为

，解得

，得通解为

．
11．若曲线积分

在区域

内与路径无关，则

【答案】－1查看答案
【考点】曲线积分与路径无关的充要条件
【解析】

，曲线积分与路径无关等价于

，又

，计算得

．
12．幂级数

在区间

内的和函数

【答案】

【考点】幂级数的和函数
【解析】

．
13．设矩阵

，

、

、

为线性无关的

维列向量组，则向量组

的秩为

【答案】2查看答案
【考点】矩阵的秩
【解析】因为

，且

故

，又

线性无关，所以

的秩为2．
14．设随机变量

的分布函数为

，其中

为标准正态分布函数，则

【答案】2查看答案
【考点】期望的计算
【解析】X的密度为

，则


三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本题满分10分）
设函数

具有2阶连续偏导数，

，求

．
【考点】复合函数的求导
解：因为

，所以

即

由上述过程知

所以


16．（本题满分10分）
求

．
【考点】利用定积分的定义计算极限
解：由定积分的定义知

再利用分部积分法知


17．（本题满分10分）
已知函数

由方程

确定，求

的极值.
【考点】极值
解：将原方程两边同时对x求导得

令

，代入①，解得

．
当

时，代入原方程得

；当

时，代入原方程得

．
对等式①两边同时对x求导得

将

代入②得

．
将

代入②得

．
所以当

时函数有极大值1；当

时有极小值0．
18．（本题满分10分）
设函数

在区间[0，1]上具有2阶导数，且

，证明：
（I）方程

在区间（0，1）内至少存在一个实根；
（II）方程

在区间（0，1）内至少存在两个不同实根．
【考点】零点定理；罗尔定理
解：（I）因为

，由函数极限的局部保号性知，存在

，使得当

时，有

．又因为

，由零点定理知，存在

，使得

，得证．
（II）构造函数

．
由

可知

．
又由（I）知存在

使得

．
由罗尔定理知，存在

，使得

，得

．
再由罗尔定理知：存在

，使得

，即

在

内有两个不同的实根．
19．（本题满分10分）
设薄片型物体S是圆锥面

被柱面

割下的有限部分，其上任意一点的密度为

．记圆锥与柱面的交线为C.
（I）求C在

平面上的投影曲线的方程；
（II）求S的质量m.
【考点】二重积分的应用与计算
解：（I）C的方程为

，投影到

平面的方程为

，即

．
（2）S的质量

将

代入上式得

其中D为平面区域

．
令

，易得

．
所以

因为

的定积分公式

所以


20．（本题满分11分）
设3阶矩阵

有3个不同的特征值，且

.
（I）证明

；
（II）若

，求方程组

的通解.
【考点】矩阵的秩；基础解系；通解
解：（I）设A的特征值为

，因为A有3个不同的特征值，所以A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得

因为

两两不同，所以

．
又因为

，所以

线性相关，从而

，得

．
（II）因为

，所以

的基础解析只有一个解向量．
又因为

，即

，
得

的基础解析的解向量为

．
同理由

，得

，得

的特解为

．
所以

的通解为

（k为任意常数）．
21．（本题满分11分）
设二次型

在正交变换

下的标准形为

，求

的值及一个正交矩阵

.
【考点】利用正交变换化二次型为标准形
解：二次型对应的矩阵为

因为二次型在正交变换下的标准形为

，故A有特征值0，所以

，计算得

．

解得

．
当

时，

得特征向量

．
当

时，

得特征向量

．
当

时，

，得特征向量

．

属于不同特征值的特征向量，正交化得
令

所以正交矩阵

，对应的标准形为

．
22．（本题满分11分）
设随机变量

，

相互独立，且

的概率分布为

，Y的概率密度为

．
（I）求

；
（II）求

的概率密度.
【考点】期望、概率、概率密度
解：（I）计算得

则

（II）Z的分布函数为

故Z的概率密度函数为


23．（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量

是已知的，设n次测量结果

相互独立，且均服从正态分布

．该工程师记录的是n次测量的绝对误差

，利用

估计

．
（I）求

的概率密度；
（II）利用一阶矩求

的矩估计量；
（III）求

的最大似然估计量.
【考点】概率密度；矩估计量；最大似然估计量
解：（I）因为

，所以

，对应的概率密度为

设

的分布函数为

，对应的概率密度为

；
当

时，

；
当

时，有

则

的概率密度为

（II）因为

，所以

；
得

的矩估计量为

其中

．
（III）由题知对应的似然函数为

对上式两边取对数得

所以

令

，得

，所以

的最大似然估计量为


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