2018年数字信号处理考点归纳与典型题（含考研真题）详解

下载地址:http://free.100xuexi.com/Ebook/155176.html
目录                                                                                        封面
内容简介
目录
第1章　时域离散信号与时域离散系统
　1.1　考点归纳
　1.2　典型题（含考研真题）详解
第2章　z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）
　2.1　考点归纳
　2.2　典型题（含考研真题）详解
第3章　离散傅里叶变换（DFT）
　3.1　考点归纳
　3.2　典型题（含考研真题）详解
第4章　快速傅里叶变换（FFT）
　4.1　考点归纳
　4.2　典型题（含考研真题）详解
第5章　数字滤波器的基本结构
　5.1　考点归纳
　5.2　典型题（含考研真题）详解
第6章　无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计
　6.1　考点归纳
　6.2　典型题（含考研真题）详解
第7章　有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计
　7.1　考点归纳
　7.2　典型题（含考研真题）详解
第8章　多采样数字信号处理
　8.1　考点归纳
　8.2　典型题（含考研真题）详解

内容预览
第1章　时域离散信号与时域离散系统
1.1　考点归纳
一、时域离散信号—序列
1．常用的典型序列
（1）单位采样序列δ（n）

单位采样序列也称为单位脉冲序列，特点是仅在n＝0时取值为l，其它均为零。如图1-1所示。

图1-1单位采样序列和单位冲激信号
（2）单位阶跃序列u（n）

①单位阶跃序列如图1-2所示。

图1-2单位阶跃序列
②δ（n）与u（n）之间的关系：

或

（3）矩形序列RN（n）

式中，N称为矩形序列的长度。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如公式：

（4）实指数序列

其中，|a|＜1时序列收敛，|a|＞1时序列发散。其波形如图1-3所示。

图1-3实指数序列
（5）正弦型序列

其中A为幅度，ω0为数字域频率，φ为起始相位。
数字域频率ω与模拟角频率Ω及模拟频率f之间的关系：

其中fs＝1/T表示抽样频率。
（6）复指数序列
复指数序列用下式表示：

式中，ω0为数字频率。
（7）周期序列
设

那么

如果

则要求

式中，k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。
①

是整数时，例如

＝N，则正弦型序列的周期即为N；
②当

是有理数时，例如

，N、M为互为素数的正整数，则正弦型序列的周期为N；
③当

为无理数时，正弦型序列不是周期性序列。
2．序列的运算
序列的简单运算有加法、乘法、移位、翻转、尺度变换及卷积和。
（1）加法和乘法
序列之间的加法和乘法，是指它的同序号的序列值逐项对应相加和相乘。
（2）移位、翻转及尺度变换
序列x（n），其移位序列x（n－n0），当no＞0时，称为x（n）的延时序列；当no＜0时，称为x（n）的超前序列，x（－n）则是x（n）的翻转序列；x（mn）（m＞1且m为整数）是x（n）序列每隔m点取一点形成的序列，相当于n轴的尺度变换。当m＝2，no＝2时，其波形如图1-4所示。

图1-4序列的移位、翻转和尺度变换
（3）卷积和
序列x[n]和h[n]通过卷积和产生的序列y[n]为

记作

，卷积和运算步骤分为4步：
①翻褶：选哑变量为m，作x（m）、h（m），将h（m）以m＝0的垂直轴为对称轴翻褶成h（－m）；
②移位：将h（－m）移位n，得h（n－m），n＞0时，右移n位，n＜0时，左移|n|位；
③相乘：将h（n－m）与x（m）在相同m处的对应值相乘；
④相加：将以上所有m处的乘积值叠加，即得到这一个n值下的y（n）值。依上法取n＝...，－2，－l，0，1，2，…各值，即可得到全部y（n）值。
3．用单位抽样序列表示任意序列
（1）δ（n）的选择性

（2）任意序列x（n）可以表示成单位抽样序列δ（n）的移位加权和

（3）任意序列x（n）与单位抽样序列的移位序列δ（n－n0）的卷积和即可得此序列作相同移位的序列x（n－n0）

4．序列的相关性
（1）互相关函数序列
两个实信号x（n），y（n）的互相关函数为：

①rxy（m）与ryx（m）互为偶对称；
②rxy（m）不是偶对称函数；
③当x（n），y（n）是绝对可和的能量信号时，有：

（2）自相关函数序列
当x（n）＝y（n）时，称rxx（m）为自相关函数序列。
①rxx（m）满足偶对称关系，即rxx（m）是实偶序列；
②当m＝0时自相关序列取最大值；
③若x（n）是绝对可和的能量信号，则：

二、时域离散系统
在时域离散系统中，最重要和最常用的是线性时不变系统。
1．离散时间线性系统
（1）线性系统应满足叠加原理，即

（2）线性系统的证明
①证明一个系统是线性系统，则对于所有常系数（包括复数）及所有输入（包括复数）必须满足叠加性的两个条件（可加性和比例性），缺一不可；
②证明系统不是线性系统只要找一个特定输入或一组特定输入，使其不满足可加性或比例性中任何一个条件即可。
（3）增量线性系统
如图1-5所示整个系统就是一个增量线性系统，即若

则



图1-5一种增量线性系统，其中yo（n）是系统的零输入响应
2．离散时间时不变系统
（1）离散时间系统移（时）不变系统是指移不变系统的参数是不随时间而变化的，即若

，则

；
（2）移不变系统的输出序列随输入序列的移位而作相同的移位，且保持输出序列的形状是不变的；
（3）若系统有一个移变的增益，或者在时间轴n上有任何压缩或扩展，则所得到的系统一定是移变系统，抽取和插值系统都是移变系统。
3．离散时间线性时不变系统（LSI系统）
LSI系统：指同时具有线性和时不变性的离散时间系统。
（1）单位抽样响应
单位抽样响应是指输入为单位抽样序列δ（n）时，LSI系统的输出序列，一般用h（n）表示，即

（2）设LSI系统的输入为x（n），输出为y（n），则y（n）为：

在线性移不变条件下，可得

（3）LSI系统卷积和运算的性质
①交换律

②结合律

③分配律

4．因果系统
因果系统是指输出不发生在输入之前的系统。
（1）考察任意系统的因果性时，只看输入x（n）和输出y（n）的关系,对于任意因果性系统，若n＜n0时输入相同，则n＜n0时输出也一定相同；
（2）LSI系统是因果性的充分必要条件是其单位冲激响应h（n）是因果序列；
（3）一般地n＜0时x（n）＝0的序列x（n）称为因果序列。
5．稳定系统
稳定系统是指系统的有界输入产生有界输出，即
若

则有

（1）证明系统稳定，要用所有有界输入来证明；证明系统是不稳定的，则只要找任一个特定的有界输入，得到无界的输出即可。
（2）LSI系统稳定的充分必要条件
其单位抽样响应h（n）绝对可和，即：

（3）因果稳定的LSI系统在时域的充分必要条件

三、常系数线性差分方程—时域离散系统的输入、输出表示法
1．线性常系数差分方程
一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：

或者

式中，x（n）和y（n）分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi均为常数，阶数是用方程y（n－i）项中i的最大取值与最小取值之差确定的。
2．求解线性常系数差分方程的方法
（1）经典时域法：即求齐次解与特解
例1 已知y（n）＋2y（n－1）＝5u（n），且y（－1）＝1，求完全解。
解：特征方程为
α＋2＝0
故α＝－2。
齐次解：yh（n）＝C1（－2）n
特解：因为

，n≥0时为5（常数）
所以

代入原方程求特解得

（n≥0）
所以

完全解为


（2）迭代法（递推法）
例2 已知差分方程：

，且

，求解方程。
解：这里为了说明起始样值和初始样值，把y（0）看作y－（0）＝1、y＋（0）＝1分别讨论。
（1）若把初值

看作激励加入前系统的起始样值y－（0），则y－（0）＝1应满足方程：

当n＜0时，用迭代法容易求得：

假设系统是因果系统，由于激励u（n）在n＝0接入，则此解即为n＜0时系统的零输入响应。
当n≥0时，系统差分方程为：

由于系统的因果性，有

则由y＋（－1）及

可得

：

所以，该差分方程的完全解为

（2）若把初值y（0）＝1，看作激励加入后系统的初始样值y＋（0），则y＋（0）＝应满足方程：

当n＜0时，由迭代法得：
y＋（n）＝0
当n≥0时，有

则方程的的解为

由于n＜0时，

，所以该解是系统的零状态响应。
可见，对初值y（0）的理解不同，所得差分方程的解也不同。
（3）零输入响应＋零状态响应
例3 已知系统的差分方程表达式为

：
（1）若边界条件

，求系统的完全响应；
（2）若边界条件为

，求系统的完全响应。
解：（1）由于激励在n＝0时接入，且给定

，因此，起始时系统处于零状态。由迭代法可得

由方程可以看出，齐次解为

，特解为D。完全解的形式为

将D代替y（n）代入差分方程得

故D＝0.5，则完全解为

再将

代入

得

所以C＝－0.45。
所以，系统的完全响应为

（2）分别求零状态响应、零输入响应，然后叠加。
先求零状态响应，令y（－1）＝0，此即第（1）问之结果；则
零状态响应＝－

再求零输入响应，令激励＝0，差分方程表示式为

则
零输入响应＝

将边界条件y（－1）＝1代入得

，于是有
零输入响应＝0.9（0.9）n
所以，系统的完全响应y（n）为

四、连续时间信号的抽样
1．模拟信号的抽样
（1）理想抽样信号，设xa（t）为模拟信号，

为理想抽样信号，则有

即：

（2）理想抽样信号的频谱

由此看出，理想抽样信号频谱

是被抽样的模拟信号频谱

的周期延拓，在角频率Ω轴上其延拓周期为：

2．时域抽样定理
奈奎斯特抽样定理是若xa（t）是频带宽度有限的信号，要想抽样后的信号能够不失真地还原出原信号，则抽样频率fs必须大于或等于信号最高频率分量fh的两倍，即：

数字域频率与模拟域频率的关系：

信号的低频分量在

＝0附近，信号的高频率分量在

附近，而信号的最高频率分量在

处。
3．带通信号的抽样
（1）当

，r＝整数，即带通信号的最高频率是其通带宽度的整数倍时，则选抽样频率fs为：

。
（2）当

，

整数。这是最一般的情况，即带通信号最高频率不等于其带宽的整数倍时，这时，可保持fh不变，将通带下端延伸到使其带宽为

，即r是取r′的整数部分，此时有

，选抽样频率为：

（3）带通信号抽样频率fs的取值范围为：

4．连续时间信号xa（t）及其理想抽样信号

以及离散时间抽样序列x（n）的关系

5．信号的重建（抽样的恢复）
如果满足奈奎斯特抽样定理，即信号谱的最高频率小于折叠频率，则抽样后不会产生频谱混叠，可以重建原信号xa（t）。
将

通过以下作为重建用的理想低通滤波器，

输出为：



这就是信号重建的抽样内插公式。
其中，

称为内插函数，如图1-6所示。

图1-6内插函数
6．正弦型信号的抽样
正弦型信号的频谱在f＝f0处为δ函数，故其抽样就遇到一些特殊问题。一般来说，正弦信号的抽样频率必须满足

。
（1）若

则：
①当φ＝0时，则一个周期抽取的两个点为x（0）＝x（1）＝0，相当于xa（0）和xa（π）两个点，故不包含原信号的任何信息。
②当

时，则有x（0）＝A，x（1）＝－A，此时从x（n）可以恢复

。
③当φ为已知，且

时，则恢复的不是原信号，但经过变换后，可得到原信号。
④当φ为未知数时，抽样后不能恢复出原信号

。
（2）模拟正弦信号有3个未知数A，φ，Ω0，只要一个周期内均匀地抽得3个样值，即可准确地重建xa（t）。
（3）对抽样后的离散周期性的正弦序列作截断时，其截断长度必须为序列周期的整数倍，才不会产生频域的泄露。
（4）离散正弦序列不宜补零后做频谱分析，否则会产生频域的泄露。
（5）考虑到做DEF（离散傅里叶变换）时，当要求数据个数为N＝2P时（P为正整数），正弦信号一个周期中最好抽取4个点。

下载地址:http://free.100xuexi.com/Ebook/155176.html