青岛大学数学科学学院432统计学[专业硕士]历年考研真题及详解

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内容简介
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第一部分　历年考研真题汇编
　2016年青岛大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题
　2016年青岛大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解
　2015年青岛大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题
　2015年青岛大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题（含部分答案）
第二部分　历年考研真题及详解
　2015年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题
　2015年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解
　2014年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题
　2014年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解
　2013年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题
　2013年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解
说明：（1）本校从2015年开始招收应用统计硕士。
　　 （2）本校经济学院和数学科学学院均考432统计学，两个学院指定参考书目不同，但2015年考试题目相同；2016年考试题目不同。

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内容预览
第一部分　历年考研真题汇编
2016年青岛大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题



2016年青岛大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解
一、（15分）设某人群中患某种疾病的概率为20%，对该人群进行一种测试，若患病则测试结果一定为阳性；而未患病者中也有5%的测试结果为阳性。求：
（1）测试结果呈阳性的概率；
（2）测试结果为阳性时，真正患病的概率。
答：（1）设事件

＝“患有某种疾病”；则

＝“未患某种疾病”；

＝“测试结果为阳性”；

＝“测试结果为阴性”，则有：


，

故测试结果呈阳性的概率为：

。
（2）测试结果为阳性时，真正患病的概率为：


二、（20分）向某一个目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离X（单位：米）的密度函数为

，如果弹着点距离目标不超过50米时，即可摧毁目标。求：
（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；
（2）至少发射多少枚炮弹，才能保证摧毁目标的概率大于0.95？
答：（1）由题意可得，发射一枚炮弹就摧毁目标，即弹着点距离目标不超过50米，则：

，即发射一枚炮弹摧毁目标的概率为

。
（2）要保证摧毁目标的概率大于0.95，则发射的炮弹数应满足：

，

，因为n为整数，解得n=3。
即至少发射3枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于0.95。
三、（15分）如果你提前

分钟赴约，花费为

（单位：元）；如果迟到

分钟，花费为

（单位：元）。假设从现在的位置到赴约地点所用的时间

（单位：分钟）。欲使平均花费最小，确定应该提前离开的时间。
答：若提前n分钟出发，以赴约约定时间为基准时间0，则到达时间

，其概率密度函数为：

。则期望花费为：

而当

时，平均花费最小，

。
四、（20分）设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为

求：
（1）条件概率

；
（2）协方差

。
答：（1）由题意得：X的边缘分布

Y的条件分布

，则：

（2）Y的边缘分布函数为：







则


五、（15分）设随机变量

与

独立，且

服从均值为1，方差为2的正态分布，

服从标准正态分布。记，

求：
（1）随机变量

的概率密度函数；
（2）

；
（3）

与

的相关系数

。
答：（1）由题意：

，则：

，而

与

是相互独立的，根据正态分布的可加性，有

，

，则：

故随机变量

的概率密度函数为：

。
（2）

,又因为

，故

。
（3）由题意：

。
六、（15分）设随机变量

服从正态分布N（0,4），求随机变量

的概率密度函数

。
答：由题意随机变量

的分布函数为：

即

，
又因为

，即

，
则随机变量Y的概率密度函数为：

。
七、（15分）正确叙述并证明伯努利大数定律。
答：伯努利大数定律：设

是n次伯努利试验中事件A出现的次数，而p是一次试验中事件A出现的概率，则对于任意

，都有

。证明如下：
因为

，且

的数学期望为

＝

，方差

＝

。
由切比雪夫不等式可得：

，当

∞时，

趋于0，即


1，则可得

。
八、（20分）设样本

来自均匀分布

，其中

＞0。
（1）求

的矩估计

，并证明它是

得无偏估计；
（2）求

的极大似然估计

，它是

的无偏估计吗？若不是，请将其修正得无偏估计

；
（3）无偏估计

和

哪一个更有效？
答：（1）

为其一阶总体矩，

为其一阶样本矩，故

，
而

，即

是

的无偏估计。
（2）由题意似然函数为：

，为使

达到最大，则示性函数取值应该为1，且

应该尽可能的大，而

是

的单调递减函数，则

的取值应该尽可能的小，但示性函数为1决定了

不能小于

，即

的极大似然估计为：

。

，令

即为

的无偏估计。
（3）由题意：

，

，由于

＞

，即无偏估计

更有效。
九、（15分）已知样本

来自正态分布

对于假设

求：
（1）若显著性水平为

，求检验的拒绝域；
（2）求

=1时检验的势函数。
答：（1）

，得拒绝域

（2）由题意：

＝1时，样本观测值落在拒绝域W内的概率为：

即

＝1的检验的势函数为

。

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