尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》（第9版）课后习题详解

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内容简介、编委
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第1篇　引　言
　第1章　经济模型
　第2章　最优化的数学表达
第2篇　选择与需求
　第3章　偏好与效用
　第4章　效用最大化与选择
　第5章　收入效应和替代效应
　第6章　商品间的需求关系
第3篇　生产与供给
　第7章　生产函数
　第8章　成本函数
　第9章　利润最大化
第4篇　竞争性市场
　第10章　竞争性价格决定的局部均衡模型
　第11章　应用竞争分析
　第12章　一般均衡和福利
第5篇　不完全竞争模型
　第13章　垄断市场模型
　第14章　不完全竞争市场的传统模型
　第15章　博弈定价模型
第6篇　要素市场定价
　第16章　劳动市场
　第17章　资本市场
第7篇　不确定性、信息和外部性
　第18章　不确定性和风险厌恶
　第19章　信息经济学
　第20章　外部性与公共品
　第21章　政治经济学
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            


　　尼科尔森的《微观经济理论——基本原理与扩展》是世界上最受欢迎的中级微观经济学教材之一，被国内部分院校（主要是北京大学、中国人民大学、南京大学等名校）指定为考研考博重要参考书目。为了帮助参加研究生入学考试指定考研考博参考书目为尼科尔森所著的《微观经济理论——基本原理与扩展》的考生复习专业课，我们精心编著了它的配套辅导用书（均提供免费下载，免费升级）：
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　　2．尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》【教材精讲+经典考题解析】讲义与视频课程【30小时高清视频】
　　3．尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》课后习题详解
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内容预览
第1篇　引　言
第1章　经济模型
本章没有课后习题。本章是全书的一个导言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。
第2章　最优化的数学表达
1．假设

。
（1）计算偏导数

，

。
（2）求出上述偏导数在

，

处的值。
（3）写出

的全微分。
（4）计算

时

的值——这意味着当

保持不变时，

与

的替代关系是什么？
（5）验证：当

，

时，

。
（6）当保持

时，且偏离

，

时，

和

的变化率是多少？
（7）更一般的，当

时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？
解：（1）对于函数

，其关于

和

的偏导数分别为：

，

（2）当

，

时，（1）中的偏微分值分别为：

，

（3）

的全微分为：

（4）当

时，由（3）可知：

，从而可以解得：

。
（5）将

，

代入

的表达式，可得：

。
（6）由（4）可得，在

，

处，当保持

不变，即

时，有：

（7）当

时，该函数变为：

，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。由（4）可知，该等高线在（

，

）处的斜率为：

。
2．假定公司的总收益取决于产量（

），即总收益函数为：

；
总成本也取决于产量（

）：

。
（1）为了使利润（

）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？
（2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。
（3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。
解：（1）由已知可得该公司的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

从而可以解得利润最大化的产量为：

；
相应的最大化的利润为：

。
（2）在

处，利润最大化的二阶条件为：

，因而满足利润最大化的二阶条件。
（3）在

处，边际收益为：

；
边际成本为：

；
因而有

，即“边际收益等于边际成本”准则满足。
3．假设

。如果

与

的和是1，求此约束下

的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。
解：（1）代入消元法
由

可得：

，将其代入

可得：

。
从而有：

，可以解得：

。从而

，

。
（2）拉格朗日乘数法

的最大值问题为：

构造拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得：

，因而有：

。
4．对偶函数为：

利用拉格朗日乘数法求解上述最小化问题。
解：设最小化问题的拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而有：

，

，从而可以解得：

。
5．以一定的力垂直上抛的小球的高度是其被抛出时间（

）的函数：

其中，

是由重力所决定的常数。
（1）小球处于最高处的时间

如何取决于参数

？
（2）利用你在（1）问中的答案来描述：随着参数

的变化，小球的最大高度如何变化。
（3）利用包络定理直接给出（2）问中的答案。
（4）在地球上，

，但是这个值在某些地区会有差异。如果两个地方重力加速度的差异为0.1，则在上述两个地区所抛出的小球的最大高度之间的差异是多少？
解：（1）对高度函数

关于时间求导数可得：

从而可以解得使高度最大的时间为：

，从而可知小球处于最高处的时间

与参数

成反比例关系。
（2）将

代入高度函数中可得：

从而有：

，即：随着

的增大，最大高度将变小。
（3）由包络定理可知：

取决于

，因为

取决于

。
因而有：

。
（4）当

时，最大高度为：

；
当

时，最大高度为：

；
因而两地最大高度的差异为：

。
6．制作一个油轮模型的一个简单的方法是，首先选择一块宽为

英尺、长为

英尺的长方形钢板，接着在每个角处减去一个边长为

英尺的正方形，然后叠起剩余的四边做成一个无盖的托盘。（如图2-1所示，去掉阴影部分的四个边长为

的正方形，然后叠起）

图2-1 油轮模型的制作
（1）验证：该托盘可装油的体积为：

（2）

应该如何选择，才能使给定

下的

最大？
（3）是否存在一个

使得所装油的体积最大？
（4）假设一个造船商受到限制，只能用1000000平方英尺的钢板来建造一个油轮。该约束条件可以用方程

来表示（因为可以将去掉的钢板做退回处理）。如何将该受约束的最大化问题的解与（2）和（3）问中的解进行比较？
解：（1）如图2-1所示，长方形四个角处去掉一个边长为

的正方形后叠起来的托盘是一个长方体，该长方体的长为（

），宽为（

），高为

，因而其体积为：

（2）由体积函数为

，体积最大化的一阶条件为：

从而可以解得：

，即：

，

。
二阶条件为：

，只有当

时，才有

。
即只有当

才能使给定

下的

最大。
（3）当

时，

。因而当

增大时，

随之增大，没有极限。因此，不存在一个

使得所装油的体积最大。
（4）受约束的最优化问题为：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以利用拉格朗日乘数法求得最优的

、

。显然，该受约束的最大化问题的解将有别于（2）和（3）中求解出来的解。
7．考虑如下受约束的最优化问题：

其中

是一个可以被赋予任何特定值的常数。
（1）验证：如果

，则此问题可以视为仅包括一个等式约束的问题的求解。
（2）验证：当

时，此问题的解要求

。
（3）如果此问题的解

须为非负，则当

时，最优解是什么？
（4）当

时，此问题的解是什么？通过将此解与（1）问中的解比较，你可以得出什么结论？
（注意：此问题涉及“拟线性函数”。这样的函数提供了消费者理论中的某些类型的消费行为的重要例子。）
解：（1）设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得：

，即

。当

时，最优解为：

。
（2）当

时，由（1）中的一阶条件可以解得：

，

，因此结论成立。
（3）如果此问题的解非负时，最优解为：

，

，

。因为任何正的

的值都将使

变小。
（4）如果

，则由（1）可得最优解为：

，

。因为

给

提供了一个递减的边际增量，而

却没有，所以，所有的最优解要求一旦

增至5，额外的增量应该全部由

的增加来实现。
8．证明：如果

是一个凹函数，它同时也是一个拟凹函数。可以通过比较方程2.114（定义拟凹性）和方程2.98（定义凹性）来完成验证。你能给出这个结论的一个直观的解释吗？拟凹函数必然是凹的吗？
方程2.98为：

；
方程2.114为：

。
证明：（1）由凹函数和拟凹函数的定义可知：
函数

，对定义域

（凸集）上任意两点

，

，

，如果有

，则称函数

为凹函数。
函数

，对定义域

（凸集）上任意两点

，

，

，如果有

，则称函数

为拟凹函数。
可知，对于凹函数有：

因而可以从凹函数推出拟凹函数，反之，则不成立。
（2）直观的，从图形上看，函数

为拟凹表示线段

、

之间的点的函数值要高于点

，或者说曲线

之间的点都高于点

。显然，当函数

是凹函数，曲线呈一个倒置的锅，则上述性质是满足的。从这一点看，凹函数一定是拟凹函数。但是，这不是必要的。如图2-2所示，在曲线

段，函数是凹的；而在

段，函数是凸的。这说明拟凹函数的概念要比凹函数更弱。

图2-2 凹函数与拟凹函数
9．柯布-道格拉斯函数：

，其中，

和

都是小于1的正的常数。
（1）利用方程

计算，从而验证该函数是一个拟凹函数。
（2）通过验证任何

（

为任何正的常数）的上水平线都是凸的，从而任何满足

的集合都是凸的，来验证柯布—道格拉斯函数是拟凹函数。
（3）验证：如果

，则柯布—道格拉斯函数不是凹函数（从而表明不是所有的拟凹函数都是凹函数）。
证明：（1）分别对柯布-道格拉斯函数求一阶、二阶导数可得：

从而可得：

，因而可知柯布-道格拉斯函数是一个拟凹函数。
（2）如果

，则

，因而当

、

时，

是

的凸函数。关于拟凹函数的一个重要性质是，如果函数

是拟凹的，则当且仅当集合

是凸集，其中

是任意常数。集合

为函数

的上等值集合。
（3）由方程2.98可知：

当

时，该式是负的，因而此时函数不是凹函数，从而可知，并非所有的拟凹函数都是凹函数。
10．幂函数

，其中，

（有时，也可以考虑

为负的情形，此时利用

来确保导数有恰当的符号）。
（1）证明：此函数是凹函数。注意到当

的特殊情况，以及仅当

时，该函数才是“严格”凹的。
（2）证明：幂函数的多元形式

也是一个凹函数（和拟凹函数）。解释在这种情况下，为什么

使得凹形的确定变得极其简单。
（3）一种将“规模”效应融入该函数的方法是，对（2）问中的函数进行单调变换：

其中，

是一个正的常数。这种变换是否仍保持函数的凹性？

是拟凹的吗？
证明：（1）当

时，因为

，

，所以此时函数

是严格凹函数。
（2）对于幂函数

，有：

，

；

，

。
因为

，

，且

，所以

满足，因而该函数是凹函数。
（3）因为

是拟凹函数，所以

是拟凹函数。但是，当

时，

不是凹函数。所有这些结论可以通过对

的偏微分以及方程

和

来验证。

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